Методы синтеза линейных систем. Повышение точности линейных систем.

Эта задача является одной из центральных в теории автоматического регулирования. Она может решаться за счёт увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы, повышение порядка астатизма, ввода производных в закон управления за счёт компенсаций возмущений и других методов.

Увеличение общего коэффициента усиления.

Является наиболее распространенным методом. Известно, что значение установившихся ошибок обратно пропорционально общему коэффициенту усиления системы.

Так в статических системах: (18)

g₀ – амплитуда задающего воздействия.

С астатизмом I порядка (скоростная ошибка ): (19)

В системах с астатизмом II порядка возникает ошибка ускорения:

(20), где – ускорение задающего воздействия

Однако от коэффициента усиления зависит не только точность, но и запас устойчивости. При увеличении коэффициента усиления, система обычно приближается к колебательной границе устойчивости, поэтому при повышении точности по этому способу необходимо одновременно обеспечивать запас устойчивости системы.

Увеличение порядка астатизма.

Повышение точности САР этим методом основывается, главным образом, на введении дополнительных интегрирующих или изодромных устройств. Последовательное включение интегрирующих устройств с передаточной функцией: (21) или изодромных (22)

приводит к повышению порядка астатизма, а следовательно к уменьшению установившихся ошибок, однако при этом снижается запас устойчивости и система становится вовсе неустойчивой.

Пример 1.

Рассмотрим, как влияет на точность увеличение порядка астатизма в системе из-за включения изодромного устройства. Передаточная функция разомкнутой исходной системы: (23)

коэффициенты ошибок для этой системы можно получить путём разложения передаточной функции замкнутой системы по ошибке в ряд Тейлора или делением числителя на знаменатель: (24)

Используя формулу разложения:

(25)

мы можем получить коэффициенты ошибок для исходной системы:

(26)

П ри введения изодромного устройства структурная схема системы:

а передаточная функция разомкнутой системы примет вид:

(27)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке в этом случае будет следующая: (28)

Коэффициенты ошибок также будем получать путём деления числителя на знаменатель. (29)

При введении изодромного устройства ошибка уменьшилась, т.к.

Необходимым условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения системы: a(S)=0; a_i>0

Достаточными условиями устойчивости по Гурвицу является следующее неравенство: , (30) где

Регулирование по производным от ошибки

В этом случае повышение точности происходит из-за того, что система начинает чувствовать не только наличие ошибки, но и тенденцию к изменению величины. В результате система более быстро реагирует на появление задающих и возмущающих воздействий, что уменьшает ошибку x(t). Структурная схема системы, при введении производной от ошибки будет выглядеть следующим образом:

- постоянная времени этого дифференцирующего элемента.

ПРИМЕР 2:

Рассмотрим, как влияет введение дифференцирующего элемента в следящую систему с передаточной функцией из предыдущего примера

(31)

(32)

делим числитель на знаменатель для определения коэффициентов ошибок:

(33)

Сравнивая последние коэффициенты ошибки с коэффициентами для исходной системы можно отметить, что и не изменились, а коэффициенты и другие последующие изменяются с введением регулирования по производным.При соответствующем выборе постоянной времени можно добиться того, что стал равен 0.В отличие от введения изодромного устройства, когда обращается в ноль, первый ненулевой коэффициент ошибки, дифференцирующий элемент на него не влияет, зато он уменьшает последующие коэффициенты.В связи с этим наиболее эффективное снижение установившейся ошибки достигается при одновременном использовании изодромных и дифференцирующих элементов.