Свойства логарифмической функции
Свойства
логарифмической функции
(
)
являются следствиями свойств показательной
функции
с тем же основанием.
1. Область
определения, множество значений. Из
определения обратной функции следует,
что областью определения и множеством
значений функции
является
соответственно множество значений и
область определения функции
.
Таким образом,
,
при любом
.
2. Непрерывность. Логарифмическая функция непрерывна на своей области определения как обратная для непрерывной показательной функции.
3. Четность, нечетность. Функция , не является ни четной, ни нечетной при любом основании а, поскольку ее область определения Df= не является симметричным относительно нуля множеством.
4. Монотонность. Логарифмическая функция является обратной для строго монотонной функции. Так как показательная функция строго возрастает при и строго убывает при , то логарифмическая функция также строго возрастает при и строго убывает при .
5. Поведение функции в граничных точках области определения.
Предложение.
(1)
(2)
Доказательство. Пусть . Докажем, например, равенство (1). Напишем определение предела:
Для произвольного
возьмем
.
Тогда для любого
в силу строгого возрастания при
логарифмической функции будет выполнено
неравенство
.
Тем самым равенство (1) при
доказано.
Доказательства остальных случаев проводятся аналогично.
6. График логарифмической функции.
При построении
пользуемся тем, что графики логарифмической
и показательной
(
)
функций симметричны относительно прямой
,
как графики взаимно-обратных функций.
Свойства логарифмов
1.
(основное логарифмическое тождество)
2.
3
4.
(
)
5.
(формула перехода к другому основанию)
Доказательство.
1. По определению
логарифма
тогда и только тогда, когда
,
т. е.
.
2. Обозначим
.
Тогда
и
.
По свойствам степени
.
По определению логарифма получаем
.
Свойство доказано.
3. Доказывается аналогично.
4. Обозначим
.
Тогда
.
Возведя обе части равенства в степень
,
получим
.
Следовательно,
.
5. Обозначим
.
Тогда
и
.
Из полученных равенств следует
,
т. е.
.
По определению логарифма имеем
.
Тогда
,
что и завершает доказательство.
§ 18. Степенная функция с иррациональным показателем
Определение.
Степенной
функцией с иррациональным показателем
называется
функция
,
где
- иррациональное число.
Свойства функции
,
1. Область
определения. Поскольку
степень
с иррациональным показателем > 0
определена для любого положительного
числа и
для < 0,
то
2. Непрерывность.
Предложение.
Функция
,
непрерывна.
Доказательство.
Пользуясь
свойствами логарифма, получаем
.
Поэтому функция f
непрерывна на
как композиция непрерывных функций.
Докажем, что при > 0
она непрерывна в точке 0. Пусть r
– рациональное
число:
;
– произвольная последовательность
положительных чисел, сходящаяся к 0.
Начиная с некоторого номера
.
Так как показательная функция с таким
основанием является строго убывающей
и положительна, то
(*)
для этих номеров. Поскольку степенная
функция
с рациональным показателем
непрерывна в точке 0, то
.
Переходя в неравенстве (*) к пределу при
,
получаем
.
Непрерывность в точке 0 доказана.
3. Четность, нечетность. Функция , , не является ни четной, ни нечетной при любом основании а, поскольку ее область определения не является симметричным относительно нуля множеством.
4. Монотонность.
Из равенства
следует, что функция f
является композицией
функций
и
.
Функция
является строго возрастающей, функция
строго возрастает при > 0
и строго убывает при < 0.
Вывод: если > 0,
функция f
строго возрастает; если < 0,
то f
строго
убывает.