2.4. Пересечение плоскостей
Задание:
построить проекции двух треугольников;
определить видимость;
построить линию пересечения треугольников;
натуральную величину треугольника АВС.
Рекомендации к выполнению. В левой половине листа формата А3 намечаются оси координат и из таблицы 2.4 согласно своему варианту берутся координаты точек А, В, С, D, Е, F вершин треугольника (рис. 2.15). По координатам (x,у) строим горизонтальные проекции, а по координатам (x,z) – фронтальные проекции треугольников АВС и DEF.
Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо определить две точки, которые будут принадлежать обеим плоскостям.
Чтобы
определить стороны, участвующие в
пересечении, необходимо
проанализировать их видимость по
конкурирующим точкам (1
2,
3
4),
т.к. пары сторон треугольников представляют
в пространстве скрещивающиеся прямые.
Проанализируем
видимость стороны АС треугольника АВС
на плоскости П1.
В точке 1 АС будет видима, т.к. точка ближе
расположена к наблюдателю, а в точке 2
– невидима. Следовательно, прямая АС
участвует в пересечении с плоскостью
DEF,
следовательно, есть общая точка. Для
того чтобы ее найти, заключаем АС во
вспомогательную фронтально-проеци-рующую
плоскость
АС
,
П1 →
А׳С׳
f0
.
Находим линию
пересечения плоскостей – заданной
треугольником DEF
и вспомогательной
(∆DEF
).
На пересечении заданной прямой АС и
полученной линии пересечения находим
искомую точку К.
Аналогично проанализировав видимость стороны DF треугольника DEF на плоскости П2, получим, что в точке 2 она видима, а в точке 1 – невидима, следовательно, прямая DF участвует в пересечении с плоскостью треугольника АВС.
Чтобы
найти точку пересечения DF
с треугольником АВС,
заключаем
эту прямую во вспомогательную
фронтально-проецирующую плоскость
.
Таким образом, получаем
DF , П2→ D"F" f0 .
Определяем линию пересечения заданной плоскости треугольника DEF и вспомогательной плоскости . На пересечении прямой DF и полученной линии пересечения находим искомую точку М.
Соединив полученные точки М и К, получим линию пересечения треугольников АВС и DEF (рис. 2.15).
Таблица 2.4
Данные к заданию на пересечение плоскостей
Номер варианта |
Xa |
Ya |
Za |
Xb |
Yb |
Zb |
Xc |
Yc |
Zc |
Xd |
Yd |
Zd |
Xe |
Ye |
Ze |
Xk |
Yk |
Zk |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
117 120 115 120 117 115 120 116 115 18 20 15 16 18 18 18 18 117 117 120 122 20 20 117 117 117 120 117 116 120 20 |
90 90 90 92 9 7 10 8 10 10 12 10 12 12 90 40 79 75 40 38 40 40 10 40 9 9 38 76 10 92 12 |
9 10 10 10 90 85 90 88 92 90 92 85 88 85 10 75 40 40 75 75 75 10 40 9 40 90 75 40 92 10 92 |
52 50 52 50 52 50 48 50 50 83 85 80 85 85 83 83 83 52 52 50 50 85 85 52 52 52 50 52 50 50 85 |
25 25 25 20 79 80 82 78 80 79 80 80 80 80 25 117 6 6 107 108 110 110 80 111 79 79 108 6 80 20 80 |
79 80 80 75 25 25 20 25 25 25 25 20 25 25 79 6 107 107 6 5 8 80 110 79 111 25 5 107 25 75 25 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0 135 135 130 130 135 135 135 135 0 47 0 0 135 135 0 0 0 0 0 0 0 135 |
83 85 80 80 48 50 52 46 50 48 50 50 50 50 83 47 38 38 38 54 50 48 48 47 48 48 54 38 50 80 50 |
48 50 45 45 83 85 82 80 85 83 85 80 80 80 48 38 47 47 135 40 40 48 48 48 47 83 40 47 85 46 85 |
68 70 65 70 68 70 65 70 70 67 70 70 75 70 67 67 67 135 20 135 140 70 70 68 68 68 135 135 70 70 70 |
110 110 105 115 85 85 80 85 85 85 85 80 85 85 110 20 0 0 0 20 20 20 85 20 85 85 20 0 85 115 85 |
85 85 80 85 110 110 110 108 110 110 110 108 110 110 85 0 20 20 0 0 0 85 20 85 20 110 0 20 110 85 110 |
135 135 130 135 135 135 130 135 135 0 0 0 0 0 0 0 0 68 68 70 70 0 0 135 135 135 70 68 135 135 0 |
19 20 18 20 36 40 38 36 35 36 35 35 30 35 19 111 48 48 111 110 110 110 35 111 36 36 110 48 35 20 35 |
36 35 35 32 19 20 20 20 20 19 20 20 15 20 36 48 111 111 48 50 50 35 110 36 111 19 50 111 20 32 20 |
14 15 12 10 14 15 15 15 15 121 120 120 120 120 121 121 121 15 15 15 20 120 120 14 14 14 15 15 15 10 120 |
52 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 52 78 86 86 78 80 80 80 0 78 0 0 80 86 0 50 0 |
0 0 0 0 52 50 52 52 50 52 52 50 50 50 0 86 78 78 86 85 85 0 80 0 78 52 85 78 50 0 52 |
Рис. 2.15. Пример выполнения задания на пересечение плоскостей
Определение натуральной величины треугольника АВС
Чтобы определить натуральную величину треугольника АВС, необходимо плоскопараллельным перемещением привести треугольник в положение проецирующей плоскости. Для этого в треугольнике АВС из точки С строим горизонталь, а затем на чистом поле листа располагаем ее горизонтальную проекцию перпендикулярно к П2 (рис. 2.15). В этом случае и треугольник, содержащий эту горизонталь, будет перпендикулярным к плоскости П2, а следовательно, его фронтальная проекция превратится в прямую линию. При таком повороте принимается ось вращения, перпендикулярная П1. Из этого следует, что горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и величину (А1В1С1=АВС), изменяется лишь ее положение. Фронтальные проекции А1В1С1 находятся на соответствующих линиях связи.
При втором повороте необходимо треугольник привести в положение, параллельное П1, это возможно, когда ось вращения перпендикулярна к П2. В этом случае фронтальная проекция треугольника при повороте сохраняет свой вид и величину А2"В2"С2", точки А и С перемещаются в плоскостях параллельно П2. Горизонтальные проекции треугольника находятся по соответствующим линиям связи. Проекция А2' В2' С2' определяет натуральную величину и вид треугольника АВС.