- •Руководство к решению задач по алгебре
- •Часть II Жорданова форма матрицы и жорданов базис
- •§1. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •Рассмотрим линейный оператор в пространстве и пусть – матрица этого оператора в некотором базисе .
- •1.2. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения
- •Жорданова форма матрицы и жорданов базис
- •Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки
- •Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка
- •1.5. Функции от матриц
- •§ 2. Жорданова форма матрицы
- •Оператор простой структуры
Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка
Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову форму и жорданов базис.
Пусть характеристический многочлен матрицы имеет вид
, где .
Тогда жорданова форма матрицы имеет вид .
Пусть характеристический многочлен матрицы имеет вид
,
где . Возможны два случая:
а) , поэтому и, следовательно, , поэтому жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением : ;
б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением : .
Пусть характеристический многочлен матрицы имеет вид
.
Возможны два случая:
а) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением : ;
б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением : .
Задача. Дана матрица . Найти .
Р е ш е н и е.
Найдем характеристический многочлен матрицы:
.
Жорданова форма матрицы имеет вид .
Найдем
.
Для нахождения воспользуемся формулой , где – матрица перехода от базиса к базису . Очевидно, что
,
поэтому
.
Пример 1. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора
.
Р е ш е н и е.
Вычислим
,
следовательно, собственное значение , .
Найдем геометрическую кратность собственного значения . Для этого посчитаем ранг матрицы
.
Следовательно,
,
поэтому жорданова форма имеет вид
или .
Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Так как он удовлетворяет условию
,
то решим систему
.
Следовательно, координаты собственного вектора удовлетворяют уравнению
.
Заметим, что коэффициент при равен 0, поэтому может принимать любые значения. Отбрасывать нельзя !!!
Для нахождения ФСР построим таблицу
.
Векторы , образуют фундаментальную систему решений в собственном подпространстве , поэтому любой собственный вектор, отвечающий собственному значению , линейно через них выражается и, следовательно, имеет вид . Так как , , то должен быть один присоединенный вектор, который будет являться решением системы . Подберем коэффициенты и таким образом, чтобы система была совместна. Так как
,
то для совместности системы необходимо, чтобы выполнялось условие . Возьмем , тогда , и координаты присоединенного вектора являются решением системы
,
то есть удовлетворяют уравнению
или .
Возьмем .
Таким образом, у нас есть собственный вектор , присоединенный к нему и нужен еще один собственный вектор, отвечающий собственному значению . Можно взять или вектор , или , или любой другой, отличный от , отвечающий собственному значению . Эти три вектора и будут образовывать жорданов базис.
Пример 2. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора
.
Р е ш е н и е.
Вычислим
,
следовательно, собственное значение , .
Найдем геометрическую кратность собственного значения . Для этого посчитаем ранг матрицы
.
Следовательно,
,
поэтому жорданова форма имеет вид
или .
Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Так как он удовлетворяет условию
,
то решим систему
.
Очевидно, что координаты собственного вектора удовлетворяют уравнению
или .
Для нахождения ФСР построим таблицу
.
Векторы , образуют фундаментальную систему решений в собственном подпространстве , поэтому любой собственный вектор, отвечающий собственному значению , линейно через них выражается и, следовательно, имеет вид
.
Так как , , то должен быть один присоединенный вектор, который будет являться решением системы . Подберем коэффициенты и таким образом, чтобы система была совместна. Так как
,
то для совместности системы необходимо, чтобы выполнялось условие . Возьмем , тогда и координаты присоединенного вектора являются решением системы
,
то есть удовлетворяют уравнению
или .
Возьмем .
Таким образом, у нас есть собственный вектор , присоединенный к нему и нужен еще один собственный вектор, отвечающий собственному значению . Можно взять или вектор , или , или любой другой, отличный от , отвечающий собственному значению . Эти три вектора и будут образовывать жорданов базис.
Пример 3. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора
.
Р е ш е н и е.
Вычислим
.
Таким образом, получили три собственных значения , , . Так как алгебраическая кратность каждого из них равна 1, то жорданова форма имеет следующий вид
.
Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Очевидно, что он является решением уравнения и, следовательно, его координаты удовлетворяют системе
,
то есть , поэтому можем взять .
Вычислим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Очевидно, что он удовлетворяет уравнению , а его координаты – системе
,
откуда следует, что , поэтому можем взять .
Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Так как он является решением уравнения , то его координаты удовлетворяют системе
,
и, следовательно, , поэтому можем взять .
Векторы образуют жорданов базис матрицы.
Пример 4. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора
.
Р е ш е н и е.
Вычислим
.
Таким образом, получили два собственных значения , . Так как алгебраическая кратность равна 2, нужно вычислить геометрическую кратность собственного значения . Для этого посчитаем ранг матрицы
.
Очевидно, что , поэтому и, следовательно, жорданова форма имеет следующий вид
.
Найдем собственные векторы , , соответствующие собственному значению . Очевидно, что они являются решением уравнения , а их координаты – решением системы
,
и, следовательно, удовлетворяют уравнению
или .
Для нахождения ФСР построим таблицу
.
Векторы , образуют фундаментальную систему решений в собственном подпространстве , поэтому любой собственный вектор, отвечающий собственному значению , линейно через них выражается и, следовательно, имеет вид
.
Так как , то нужно выбрать любые два линейно независимых вектора из этой линейной комбинации. Возьмем , .
Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Очевидно, что он удовлетворяет уравнению , а его координаты – системе
,
то есть , поэтому можем взять .
Векторы образуют жорданов базис матрицы.