15

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Руководство к решению задач по алгебре

Часть II Жорданова форма матрицы и жорданов базис

Практическое пособие по курсу “Алгебра и геометрия”

для студентов по специальности

Воронеж

2003

§1. Собственные векторы и собственные значения оператора.

Жорданова форма матрицы и жорданов базис

Рассмотрим линейный оператор в пространстве и пусть – матрица этого оператора в некотором базисе .

Определение 1. называется характеристическим многочленом матрицы ( – единичная матрица порядка ).

Определение 2. Вектор называется собственным вектором оператора , если , а – собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору .

1. Алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора

1) Найдем все корни характеристического многочлена , получим – спектр оператора (множество всех собственных значений);

2) подставим в систему

,

решим ее и найдем все собственные векторы, отвечающие собственному значению , затем подставим и т.д.

1.2. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения

Определение 3. Кратность корня в характеристическом многочлене называется алгебраической кратностью собственного значения .

Определение 4. Геометрической кратностью собственного значения называется размерность собственного подпространства оператора

.

Утверждение. , где – порядок матрицы оператора .

Теорема. Оператор в базисе имеет диагональную матрицу в том и только том случае, когда базисные векторы – собственные, то есть для всех .

3. Жорданова форма матрицы и жорданов базис

Определение 5. Жордановой клеткой называется клетка вида

. (1.1)

Теорема. Для произвольного оператора существует базис пространства , в котором матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид, причем на главной диагонали стоят жордановы клетки вида (1.1).

Этот базис называется жордановым, а данный канонический вид матрицы называется жордановой формой.

Замечание. Жорданова форма определяется однозначно с точностью до порядка клеток (каждой клетке с соответствует один собственный вектор).

Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки

Рассмотрим жорданову клетку вида (1.1). По определению матрицы оператора в 1-м столбце стоит вектор , разложенный по базису :

,

поэтому

.

Во 2-м столбце матрицы находится вектор , разложенный по этому же базису и т.д.

Таким образом, собственный вектор находим как решение системы , присоединенный вектор – как решение системы . Очевидно, что

.

Продолжая аналогичные рассуждения, для вектора получим .

Определение 6. Вектор называется присоединенным вектором высоты .

Жорданов базис состоит из собственных и присоединенных к ним векторов.

Утверждение. Алгебраическая кратность собственного значения равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным значением.

Утверждение. Геометрическая кратность собственного значения равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению .