2.1. Приближение функций. Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация. Приближение периодических функций.
При разработке формальных математических моделей единственным методом исследования ЭМС являются экспериментальные исследования. Результатом экспериментальных исследований являются табличные значения измеренных экспериментальных зависимостей. Пусть экспериментальные данные помещены в таблицу с двумя столбцами X→Y:
X |
Y |
x1 |
y1 |
x2 |
y2 |
… |
… |
xn |
yn |
При работе с табличными данными возникает две возможные задачи.
Задача 1. Как определить значение функции Yдля такого значения Х, которого нет среди измеренных значений, т.е., необходимо вычислить значение Y для xn-1<X<xn. ?
Такая задача называется задачей интерполяции табличной функции.
Задача 2. Как определить значение функции Yдля такого значения Х, которое находится вне границ экспериментальных данных, т.е., необходимо вычислить значение Y для x1>Xили Х>xn. ?
Такая задача называется задачей экстраполяции табличной функции.
Обе эти задачи могут быть решены путем построения некоторой аналитической зависимости, которая описывает табличные данные с последующим выполнением вычислений по полученной зависимости. Также эти задачи могут быт решены с помощью специальных вычислительных схем, использующих только табличные данные.
Н
апример,
завод-изготовитель приводит графическую
зависимость напорной характеристики
насоса – зависимость H =
f(Q):
Каким образом можно представить эту зависимость аналитически? Не правда ли, эти кривые напоминают нам параболу? Но каковы коэффициенты этой параболической зависимости?
Задача получения аналитической зависимости, описывающей табличные данные, называется задачей аппроксимации (приближения) табличной функции.
При анализе электромеханических систем возникает необходимость приближения функций особого рода – периодических функций. Такие задачи часто возникают при анализе цепей переменного тока, содержащих ключевые элементы: диоды, тиристоры, транзисторы, т.е. при анализе работы регулируемых электроприводов с силовыми преобразовательными устройствами. Основной математический аппарат, который используется для таких задач – это разложение периодических функций в ряд Фурье.
2.2. Алгебра комплексных чисел.
В курсе ТОЭ вам доходчиво объяснили, что основным методом расчета для цепей переменного тока является комплексный метод. При этом переменные синусоидальные сигналы заменяют комплексными числами. Арифметика комплексных чисел существенно отличается от арифметики действительных чисел. Комплексный метод удобно использовать для анализа электрических цепей, для расчетов электрических машин. Алгебра комплексных чисел также используется при решении задач расчета электромагнитных полей в зазоре электрической машины, в решении других задач расчета электромагнитных полей. Мы рассмотрим вопросы практического использования различных программ для выполнения расчетов с комплексными числами.
2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау), матричная алгебра.
Решение различных задач определения баланса, например распределения токов и напряжений в ветвях электрической схемы, задач вычисления установившихся значений переменных в конечном итоге сводятся к необходимости решения системы линейных алгебраических уравнений.
Одним из известнейших методов анализа сложных схем в ТОЭ является метод контурных токов. После задания токов отдельных контуров итоговые уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений, порядок которой равняется числу независимых контуров схемы. Метод узловых потенциалов также приводит нас к необходимости решения СЛАУ, порядок которой равен числу узлов схемы – 1.
Зачастую различные вычислительные процессы приводят нас к необходимости решать СЛАУ. Решение СЛАУ является промежуточным этапом при решении упоминавшихся выше задач интерполяции и аппроксимации. Задача решения СЛАУ возникает в процессе анализа динамики электрических машин. К решению СЛАУ высокой размерности сводится решение задач математической физики - задач расчета электрических и магнитных полей, задач расчета тепловых режимов электрических машин
Методы решения СЛАУ являются одним из наиболее значимым и широко используемых разделов вычислительной математики.