- •Лекция 1.
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Требования к модели. Функции модели
- •1.3. Классификация моделей
- •1.3.1. Статические и динамические модели
- •1.3.2. Детерминированные и стохастические модели
- •1.3.3. Классификация математических моделей.
- •Лекция 2. Разновидности математических задач, возникающих при моделировании эмс.
- •2.1. Приближение функций. Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация. Приближение периодических функций.
- •2.2. Алгебра комплексных чисел.
- •2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау), матричная алгебра.
- •2.4. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2.6. Решение систем дифференциальных уравненийв частных производных.
- •Лекция 3. Ошибки вычислений.
- •3.1. Общие характеристики вычислительных процессов.
- •3.2. Классификация погрешностей.
- •3.3. Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.
- •Лекция 4. Приближение функций
- •4.1. Каноническая форма интерполяционного полинома.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Интерполяция сплайнами.
- •4.3.1. Линейный сплайн
- •4.3.2. Кубический сплайн
- •Лекция 5. Аппроксимация функций.
- •5.1. Степенной базис
- •5.2. Базис в виде классических ортогональных полиномов
- •5.3. Малая помехоустойчивость метода наименьших квадратов при решении задач идентификации
- •5.3.1. Теория множественности моделей
- •Лекция 6. Приближение периодических функций.
- •6.1. Общие сведения.
- •6.2. Ряды Фурье.
- •6.3. Функции Уолша.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •7.1. Область применения слау в задачах математического моделирования эмс.
- •7.2. Прямые методы решения слау.
- •7.3. Итерационные методы.
- •Лекция 8. Решение нелинейных уравнений.
- •8.1. Отделение корней уравнения.
- •8.1.1. Графический метод отделения корней.
- •8.1.2. Аналитический метод отделения корней.
- •8.2. Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •8.3. Метод хорд.
- •8.4. Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).
- •Лекция 9. Численное интегрирование и дифференцирование.
- •9.1. Метод прямоугольников.
- •9.2. Метод трапеций.
- •9.3. Метод Симпсона.
- •9.4. Численное дифференцирование.
- •Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (оду).
- •10.1. Метод Эйлера.
- •10.2. Методы Рунге-Кутты.
- •10.2.1. Метод Рунге-Кутты-Мерсона
- •10.3. Метод Адамса.
- •10.4. Визуализация решений оду.
- •Лекция 11. Визуальное моделирование динамических систем.
- •Лекция 12. Численное решение систем дифференциальных уравнений в частных производных.
- •12.1. Уравнения математической физики.
- •12.1.1. Уравнения параболического типа.
- •12.1.2. Уравнения гиперболического типа.
- •12.1.3. Уравнения эллиптического типа
- •12.2. Основные понятия метода сеток.
- •Лекция 13. Решение оптимизационных задач.
- •13.1. Методы безусловной одномерной оптимизации
- •13.1.1. Постановка задачи.
- •13.1.2 Метод обратного переменного шага.
- •13.1.3. Метод половинного деления
- •13.1.4. Метод квадратичной аппроксимации (метод Пауэлла).
- •13.2 Методы оптимизации многомерных функций.
- •13.2.1. Метод покоординатного спуска.
- •13.2.2. Метод наискорейшего спуска (метод градиентов)
- •13.2.3. Метод Нелдера-Мида.
- •13.2.3. Метод пчелиного роя.
- •Лекция 14. Идентификация параметров эмс.
- •14.1. Аппроксимация переходных характеристик элементарными динамическими звеньями
- •14.1.1. Апериодическая переходная характеристика
- •14.1.2.Колебательная переходная характеристика.
1.3.3. Классификация математических моделей.
К математическим моделям относятся те, в которых для представления процесса используют символы, а не физические свойства. Математические модели - совокупность математических объектов и отношений между ними, что адекватно отображает некоторые свойства объекта.
Рассмотрим более подробно классификацию математических моделей. Классификация происходит по несколькими принципами.
В зависимости от характера отображаемых свойств объекта - функциональные и структурные. Функциональные отображают процессы функционирования объекта. Они имеют чаще всего форму системы уравнений. Структурные могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве. Эти модели обычно используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать абстрагируясь от физических процессов в объекте. Они отбивают структурные свойства объекта.
По методу получения функциональных математических моделей - теоретические и формальные. Теоретические получают на основе изучения физических закономерностей. Структура уравнений и параметры моделей имеют определенное физическое толкование. Формальные получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, то есть рассмотрение объекта как кибернетической « черного ящика». Теоретические модели более универсальные и справедливые для широких диапазонов изменения внешних параметров. Формальные более точные в диапазоне, в котором делались измерения.
В зависимости от линейности и нелинейности уравнений - линейные и нелинейные.
В зависимости от множества значений сменных непрерывные и дискретные.
По форме связей между исходными, внутренними и внешними сменными - алгоритмические и аналитические.
В зависимости от вида уравнений, которые используются в математической модели объекта, модели подразделяются на статические и динамические. В статических моделях используются линейные и нелинейные алгебраические уравнения и их системы, а в динамических - линейные и нелинейные дифференциальные уравнения и их системы.
Лекция 2. Разновидности математических задач, возникающих при моделировании эмс.
При анализе технических объектов и процессов в какой-либо предметной области возникают типовые проблемы, решение которых приводит нас к некоторым классам задач в формальной математической постановке. Решение математических задач можно получить в аналитической форме. Существует обширный класс математических задач, которые не могут быть решены аналитически либо ввиду отсутствия теоретического решения как такового, либо из-за большого объема необходимых для решения вычислений.
Например, в высшей математике изучены методы аналитического решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для нелинейных дифференциальных уравнений такие аналитические решения даже теоретически неизвестны.
Все вы решали систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Некоторые даже помнят уравнение для вычисления определителя третьего порядка! А кто-то знает, как вычислить определитель 4-го порядка? Что делать, когда число уравнений доходит до 20 или больше?
Практически всегда целью математического моделирования является получение некоторых численных значений: либо рассчитанных для конкретной комбинации параметров по аналитическим решениям, либо рассчитанных приближенно.
Решением такого рода математических задач посвящена особая техническая дисциплина –вычислительная математика. Предметом изучения вычислительной математики являются численные методы решения разнообразных математических задач.
Применительно к анализу ЭМС также возникает целый ряд типовых математических задач и соответствующих им методов решения этих задач в математической постановке.
Ниже мы рассмотри основные математические задачи, возникающие при анализе ЭМС.