Министерство образования и науки Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
И.В.Блинова, И.Ю. Попов, Е.С.Трифанова
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ
по функциональному анализу
Санкт-Петербург
2011
Блинова И.В., Попов И.Ю., Трифанова Е.С. Типовые расчеты по функциональному анализу. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. – 24 с.
Методическое пособие содержит два типовых расчета по функциональному анализу. Предназначено для студентов третьего курса ЕНФ и ИТиП, обучающихся по направлению 01.04.00 (Прикладная математика и информатика).
Рекомендовано к печати Советом естественнонаучного факультета СПбГУ ИТМО 01.03.2011 (протокол № 2)
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2011
Блинова И.В., Попов И.Ю., ТрифановаЕ.С., 2011
Типовой расчет № 1 «Пространства и операторы»
I. Проверить, образует ли метрическое пространство, если
.
Решение. Для того чтобы определить, является ли данное пространство метрическим, нужно проверить, удовлетворяет ли заданная функция расстояния , где трем аксиомам:
1) : , и ;
2) : (аксиома симметрии);
3) : (аксиома треугольника).
Для данной функции выполнение условий 1) и 2) очевидно. Докажем выполнение аксиомы треугольника, которая примет вид
. (1)
Введем обозначения , . Тогда неравенство (1) примет вид
. (2)
Полученное неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского:
. (3)
Имеем
что равносильно неравенству (2). Следовательно, все три аксиомы выполнены, и данное пространство является метрическим.
II. Проверить, можно ли ввести норму в пространстве , следующим образом: .
Решение. Для того чтобы определить, может ли заданная функция являться нормой в пространстве , нужно проверить, удовлетворяет ли она трем условиям:
1) : , причем ;
2) : ;
3) : .
Для данной функции выполнение условия 1) очевидно. Проверим выполнение условия 2). Воспользуемся свойствами модуля и супремума:
, .
Условие 3) также выполнено:
, .
Следовательно, функция задает норму на пространстве .
III. В пространстве найти проекцию элемента на подпространство, порожденное , если
Решение. Обозначим - подпространство, порожденное функциями . Тогда , где - проекция на , . Разложим функцию по базису :
и найдем коэффициенты разложения и в этом базисе. Имеем
.
Умножим это равенство скалярно сначала на , а затем на :
(4)
Вычислим скалярные произведения, зная, что . Имеем
, ,
, , .
Для решения системы (4) воспользуемся формулами Крамера. Определители системы
, , .
Тогда
, .
И окончательно, .
IV. Показать, что оператор : , ограничен в пространстве , и найти его норму.
Решение. Докажем ограниченность оператора . В пространстве норма элемента равна . Имеем
при . Следовательно, оператор ограничен.
Норма оператора определяется следующим образом: . Tогда получаем
V. Найти точечный спектр и собственные функции оператора A: , заданного на дважды непрерывно дифференцируемых функциях с граничными условиями в пространстве .
Решение. Запишем уравнение для определения собственных значений и собственных функций:
,
то есть
. (5)
Его решения будут разными в зависимости от знака выражения . Рассмотрим 3 случая:
1) . Тогда решение уравнения (5) имеет вид
.
Удовлетворим граничным условиям:
Отсюда следует, что , то есть , что противоречит определению собственной функции.
2) . Решение уравнения (5) в этом случае имеет вид , и краевым условиям удовлетворяет только нулевая функция.
3) . Решение уравнения (5) имеет вид
.
Подставляя краевые условия, получим и . Находим спектр
, .
Соответствующие собственные функции (принадлежащие ) имеют вид
.
VI. Проверить, является ли оператор двукратного дифференцирования , определенный в комплексном пространстве на дважды непрерывно дифференцируемых функциях , удовлетворяющих граничным условиям , симметричным. Каким граничным условиям удовлетворяют функции из области определения сопряженного оператора?
Решение. Оператор называется симметричным, если выполняется условие
. (6)
Возьмем . Тогда
. Следовательно, для симметричности оператора необходимо и достаточно выполнения условия
,
то есть
. (7)
Так как , то функции удовлетворяют заданным граничным условиям. Подставим их в (7):
.
Полученное верное равенство равносильно симметричности оператора .
Пусть - оператор, сопряженный с . Он определяется так. , если существует элемент (обозначим его ) такой, что (сравните с условием (6)):
.
Это условие аналогично условию (7), но , а . Подставим в (6) условия на функцию :
.
Поскольку и произвольны, получаем граничные условия на функцию : , откуда следует, что граничные условия для элемента из области определения те же, что и для оператора .