В виде последовательного соединения двух фильтров

Из рисунка видно, что для хранения одних и тех же переменных используются две линии задержки, поэтому одну из них можно удалить. При этом схема фильтра преобразуется к виду, представленному на рисунке 2.8. Это и есть каноническая форма программной реализации фильтра.

Рисунок 2.8 – Каноническая форма программной реализации фильтра

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

На рисунке 2.8 показана каноническая форма фильтра N-го порядка на одной линии задержки, состоящей из N элементов. Однако обычно вместо структуры, изображенной на рисунке 2.8, используется параллельное или последовательное соединение звеньев второго порядка. Такое представление фильтра связано с возможностью представления системной функции (2.7) в виде произведения или суммы системных функций с полиномами второго порядка в числителе и знаменателе

, (2.9)

, (2.10)

где L – порядковый номер звена, L_max – максимальное значение номера звена

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂ и A₂ равны нулю.

Соотношению (2.9) соответствует схема рисунка 2.9а, а соотношению (2.10) – схема рисунка 2.9б.

Рисунок 2.9- Последовательное (а) и параллельное (б) соединение

звеньев фильтра

Типовая схема звена второго порядка приведена на рисунке 2.10. На входе звена показан масштабный коэффициент M_L (как правило, меньше единицы), предотвращающий появление в процессе вычислений значений сигналов фильтра, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства.

Рисунок 2.10 – Типовое звено второго порядка

2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра

Комплексным коэффициентом передачи фильтра является отношение комплексной амплитуды выходного сигнала фильтра к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала

.

Коэффициентом передачи фильтра К называется модуль комплексного коэффициента передачи

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации (рисунок 2.5) комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи комплексный выходной сигнал должен быть равен

.

Из схемы рисунка 2.5 следует, что выходной комплексный сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Из последнего соотношения получим

(2.11)

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра (2.7), можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи при известной системной функции фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на :

, (2.12)

где - нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации F_Д.

Лекция №6