III. Матрицы. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений
1. Матрицы. Действия над матрицами
Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел
(1)
состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут , , 1 .
Множество всех матриц порядка обозначим , множество всех квадратных матриц порядка – через .
Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называют матрицу , определяемую по правилу при этом пишут .
Суммой матриц , называют матрицу , определяемую по правилу ; при этом пишут . Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка.
Произведением матрицы на матрицу называют матрицу , элементы которой определяются по правилу ; при этом пишут .
Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент матрицы есть результат скалярного произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В).
Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел
кроме одного: вообще говоря,
Матрицу
называют транспонированной к матрице (1) и пишут ; получается из А переменой ролей столбцов и строк.
Пример 1. Найти , если
, , .
Решение.
= .
(Поясним, как получены отмеченные элементы и матрицы Т.к. имеет индекс , то он равен сумме произведений соответствующих элементов 2-й строки матрицы B и 1-го столбца матрицы C:
.
Аналогично для нахождения элемента нужно задействовать 3-ю строку матрицы B и 2-й столбец матрицы C:
).
Отсюда получаем
Матрица порядка m 1 называется столбцом, а порядка 1 n – строкой. Система столбцов называется линейно зависимой, если существует система чисел такая, что
1) ;
(2)
Если же равенство (2) возможно лишь при то система столбцов называется линейно независимой. Левая часть равенства (2) называется линейной комбинацией столбцов Аналогичное определение дается для строк.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица состоящая из нулей.
Единичной матрицей порядка называется квадратная матрица , на главной диагонали которой, тянущейся слева сверху вправо вниз, находятся единицы, а остальные элементы равны 0:
Часто пишут просто I, опуская индекс n там, где это не приводит к недоразумению.
Матрицы O и I играют роль нуля и единицы: (операции считаются дозволенными).
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, называется треугольной.
2. Определители
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое det A (иногда ).
Теорема 1. Назовем неупорядоченный набор из n элементов матрицы правильным, если никакие два элемента этого набора не принадлежат одному столбцу или одной строке матрицы A. Тогда, используя лишь операции перестановки столбцов и перестановки строк, можно расположить элементы правильного набора на главной диагонали. Более того, если сделать это двумя способами и – число использованных операций (перестановок столбцов и строк) при первом способе, а – при втором способе, то является четным числом, т.е.
Определение. Каждому правильному набору поставим в соответствие вполне определенное число – знак набора где k – число операций, необходимых для размещения элементов на главной диагонали. Определителем матрицы (или определителем n-го порядка) называется число
где суммирование производится по всем различным правильным наборам.
Пользуются и другим обозначением определителя матрица :
Определитель обладает следующими свойствами:
1) ;
2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя;
3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю;
4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если один из столбцов (одна из строк) матрицы состоит из нулей, то );
5) если к элементам некоторого столбца (строки) некоторой матрицы А прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель новой матрицы В будет равен
6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов (других строк) матрицы А, то
7) обозначим через определитель матрицы порядка получающейся из матрицы путем зачеркивания i-й строки и j-го столбца; число называется алгебраическим дополнением элемента для любого k, справедливы равенства:
,
(разложение определителя по k-му столбцу);
8)
Определитель матрицы порядка равен элементу матрицы:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом «3 5».
+ –
а б Рис. 1 |
Рис. 2 |
Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагонали (рис.1, а); или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков.
Правило «3 5» использует схему (к матрице добавлены первые два столбца).
Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений элементов троек с учетом их знаков.
Определитель треугольной, в том числе и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя.
Пример 2. Вычислить определитель
а) методом Саррюса;
б) путем приведения к треугольному виду.
Решение. а) По правилу Саррюса
б) Имеем (запись означает, что к элементам j-й строки, умноженным на , прибавляются соответствующие элементы k-й строки, умноженные на ; результат этой операции записывается в строке напротив записи):
=
= = 13 =
= 13(1 1 (–3))= –39.
Желательно перед началом преобразований добиться того, чтобы в левом верхнем углу стояло число 1 или (–1); этим и объясняется первая операция перестановка первых двух строк.
Для вычисления определителей более высокого порядка удобнее пользоваться свойством 7.
Пример 3. Вычислить определитель
а) разложением по какой-либо строке или столбцу;
б) путем приведения к треугольному виду.
Решение. а) Лучше разложить по второй строке или третьему столбцу, т.к. наличие нуля уменьшает вычисления; выберем вторую строку, тогда
б) Имеем (пояснение ниже):
=
Поясним выкладки. Если в i-ю строку записывается результат операции то определитель матрицы увеличится в раз; чтобы этого не произошло, мы при каждом таком действии домножаем определитель на
( в нашем примере последовательно на ).
Матрица определитель которой равен нулю, называется
вырожденной.
Геометрический смысл определителя состоит в следующем:
1) модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на векторах и
2) модуль определителя
равен объему параллелепипеда, построенного на векторах