- •IX. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •2. Замена переменных в двойном интеграле
- •3. Приложения двойного интеграла
- •4. Тройной интеграл
- •5. Замена переменных в тройном интеграле
- •Задание 9.1
- •Задание 9.2
- •Задание 9.3
- •Задание 9.4
- •Задание 9.5
- •Задание 9.6
- •Задание 9.7
- •Задание 9.8
- •Задание 9.9
- •Задание 9.10
- •Задание 9.11
- •Задание 9.12
- •Задание 9.13
- •Задание 9.14
- •Задание 9.15
IX. Кратные интегралы
1. Двойной интеграл
Пусть функция f(x;y) определена в замкнутой ограниченной области (D)R2. Разобьем эту область на частичные области (D1), (D2),, (Dn), площади которых равны S1, S2,, Sn соответственно. Обозначим через dk диаметр области (Dk) dk = sup{MM; M,M(Dk)}. Число называется диаметром разбиения. В каждой частичной области (Dk) возьмем по точке Мk(xk;yk). Выражение называется интегральной суммой функции f(x;y) по области (D). Если существует конечный предел интегральных сумм G при 0, предел, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек Мk, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области (D) и обозначается
При этом говорят, что f(x;y) интегрируема в (D).
Для интегрируемости f(x;y) в ограниченной замкнутой области (D) достаточно, чтобы f(x;y) была непрерывна в (D).
Теорема 1. Если f(x;y), g(x;y) интегрируемы в (D), то k1f(x;y)+k2g(x;y) также интегрируема в (D) и при этом
Теорема 2. Если f(x;y) интегрируема в области (D), и пусть площадь множества равна нулю. Тогда
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой области (D) и (D) ограничена непрерывными линиями y = (x), y = (x), x = а, x = b, (x)(x) при
а x b, то
Правая часть последнего равенства обычно записывается иначе:
Иногда удобно производить внешнее интегрирование по y, внутреннее – по x: если (D) ограничена линиями x = (y), x = (y), y = c, y = d,
(y) (y) при y c,d, то
В случае, если область (D) имеет сложный вид, то ее разбивают на простые подобласти и применяют теорему 2.
Пример 1. Область (D) задана неравенствами :
а) построить область (D);
б) записать двойной интеграл в виде повторного;
в) изменить порядок интегрирования в повторном интеграле.
Решение. а) Уравнение определяет параболу с вершиной в точке , уравнение – верхнюю полуокружность окружности .
В самом деле, уравнение эквивалентно системе
или . Сделаем рисунок. Область (D) заключена между параболой и полуокружностью.
б) Найдем пределы изменения переменного x – проекции (D) на ось 0x. Для этого составим и решим уравнение
Отсюда находим , . Таким образом, x пробегает все значения из отрезка 0;4. При каждом фиксированном значении x00;4 прямая пересекает область (D) по отрезку, тянущемуся от точки параболы с абсциссой x0 до точки полуокружности с той же абсциссой. Поэтому область (D) определяется системой неравенств:
Следовательно
в) Изменим порядок интегрирования, приняв в качестве внешнего переменного y, внутреннего – x. Составим уравнения линий, ограничивающих (D), выразив x через y. Для уравнения окружности получим: , , , левая полуокружность, правая полуокружность. Для уравнения параболы: левая ветвь параболы, правая ветвь параболы. Переменное y меняется в целом от –4 до 2. Покуда y меняется в пределах от –4 до 0, x меняется от абсциссы соответствующей точки левой ветви параболы до абсциссы соответствующей точки правой ветви параболы Если же y меняется в пределах отрезка [0;2], то x меняется от абсциссы соответствующей точки левой полуокружности до абсциссы соответствующей точки правой полуокружности Таким образом, если считать область (D) разбитой на две части: (D1) – ниже от 0x и (D2) – выше от 0x, то пределы изменений переменных можно выразить следующими неравенствами:
для (D1):
для (D2):
Эти соображения приводят к следующему представлению двойного интеграла:
Пример 2. Вычислить двойной интеграл где (D) – область из примера 1.
Решение. Имеем