2.2. Арифметические действия над целыми числами

Сложение и вычитание

На самом деле в большинстве компьютеров операция вычитания не используется, а вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительны. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

Пример 1.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+  3		0 +  0000011
7		0 0000111
10		0 0001010

2. А положительно, B отрицательно и по абсолютной величине больше, чем А.

Пример 2.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+   3		0 +  0000011
–10		1 1110101	Обратный код –10
–7		0 0001010	Обратный код –7

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7₁₀.

3. А положительно, B отрицательно и по абсолютной величине меньше, чем А.

Пример 3.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+ 10		0 +  0001010
–3		1 1111100	Обратный код –3
7		0 0000110
		+1
		0 0000111	Прямой код 7

Полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательны.

Пример 4.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+  –3		1 +  1111100	Обратный код –3
–7		1 1111000	Обратный код –7
–10		1 1110100
		+1
		1 1110101	Обратный код –10

Полученный первоначально неправильный результат исправляется переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

Переполнение разрядной сетки. Так называется ситуация, когда при сложении старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительны, сумма А+В больше, либо равна 2*n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n = 8, 2^n–1 = 2⁷ = 128).

Пример 5.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+  65		0 +  1000001
97		0 1100001
162		1 0100010	Переполнение

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде, что вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что и является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательны, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 ^n–1.

Пример 6.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+  –63		1 +  1000000	Обратный код –63
–95		1 0100000	Обратный код –95
–158		0 1100000	Переполнение
		+1

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов. Имеют место рассмотренные выше шесть случаев.

1. А и В положительны. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительно, B отрицательно и по абсолютной величине больше, чем А.

Пример 7.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+    3		0 +  0000011
–10		1 1110110	Дополнительный код –10
–7		1 1111001	Дополнительный код –7

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются, и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7₁₀.

3. А положительно, B отрицательно и по абсолютной величине меньше, чем А.

Пример 8.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+ 10		0 +  0001010
–3		1 1111101	Дополнительный код –3
7		0 0000111	Перенос отбрасывается

Получен правильный результат. Единица переноса из знакового разряда отбрасывается.

4. А и В отрицательны.

Пример 9.

Десятичное сложение		Двоичное сложение
+  –3		1 +  1111101	Дополнительный код –3
–7		1 1111001	Дополнительный код –7
–10		1 1110110	Дополнительный код –10 Перенос отбрасывается

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единица переноса из знакового разряда отбрасывается.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии с обратными кодами.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

1) на преобразование отрицательного числа в обратный код затрачивается меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов;

2) время выполнения сложения для дополнительных кодов меньше, чем для обратных кодов, потому что нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции – окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Пример.

Для иллюстрации умножим 110011₂ на 101101₂.

Накапливающий сумматор	Множитель
0 + 00000000000	101101
110011
1 + 10011	101100
110011		Сдвиг влево на две позиции
1 + 1111111	101000
110011		Сдвиг влево на одну позицию
1 + 010010111	100000
110011		Сдвиг влево на две позиции
100011110111	000000

Деление реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.