Метод наименьших квадратов

Основоположниками метода наименьших квадратов являются Лежандр, Р.Андре, Гаусс. Этот метод часто применяют в задачах выравнивания или сглаживания.

Пусть в результате наблюдений химического эксперимента получен ряд точек (х₁;у₁), (х₂;у₂), …, (х_n;у_n) (рис.11).

Рис.11. Результате наблюдений химического эксперимента.

Согласно методу наименьших квадратов - сумма квадратов отклонений опытных точек ( ) от точек, рассчитанных по теоретической кривой ( ) должна быть минимальной.

(6)

- значения точек, полученные в ходе эксперимента.

- точки, лежащие на прогнозируемой кривой. Мы предполагаем линейную зависимость (линейную структуру) - . Поэтому записываем:

(7)

Функция S - функция двух независимых переменных а₀ и а₁. Для определения экстремума функции нескольких переменных необходимо обращение в нуль ее частных производных первого порядка, что приводит к уравнениям:

(8)

Сокращая все члены уравнения на 2 и группируя члены, содержащие а₀ и а₁, получаем:

(9)

Для определения значений а₀ и а₁ следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим а₀ из первого уравнения и подставим его выражение во второе уравнение, которое решим относительно а₁.

, (10)

, (11)

(12)

Алгоритм определения параметров математической модели химического процесса

1. Записать уравнение исследуемой структуры.

2. Привести к линейному виду (табл. 2).

3. Рассчитать для зависимости, приведенной к линейному виду.

4. По формуле (9) определить А₀, А₁.

5. Выполнить преобразования для определения а₀ и а₁ в исследуемой структуре.

Пример 2. Изменение концентрации одного из компонентов реакции по времени составило:

х, сек	1	3	6	9	12	15	16	17	18
у, г/моль	2,5	2,7	2,9	3,1	3,6	6,7	8,9	12,5	16,7

Определить параметры математической модели для степенной структуры.

Решение

1. Степенная структура - .

2. У=lgy, X=lgx, A₀=lga₀, A₁=a₁.

3. Расчет проводим в Excel.

Открываем Microsoft Excel.

На открывшейся странице в ячейку А1 записываем номер класса и фамилию.

В ячейку А2 записываем номер задачи, в данном случае «Пример 2».

Для расчетов нам понадобится:

нумерация опытов n (ячейки А5-А13),

исходные значения х (ячейки В5-В13) и у (ячейки С5-С13),

преобразованные величины X=lgx (ячейки D5-D13) и Y=lgy, E5-E13),

а также величины X² (ячейки F5-F13) и XY (ячейки G5-G13), необходимые для расчетов параметров уравнения а₀ и а₁.

Результат этих действий приведен на рис.12.

Рис. 12. Подготовка к расчетам параметров модели в Excel.

Значения n, х, у - заносим, а X=lgx,и Y=lgy, X² и XY - вычисляем, аналогично Примеру 1 п.2.

Двойным щелчком левой клавиши мыши на «Лист1», размещенной внизу, изменяем текст на «МНК».

Для расчета суммарных значений воспользуемся пиктограммой Автосуммы (рис. 13)

Рис.13 Расположение пиктограммы Автосумма.

Для расчета суммы выделяем левой клавишей мыши интервал В5-G13, затем нажимает Автосумма. В строке 14 получаем значения .

4. По формуле (9) определяем значения параметров модели

Для этого в ячейке В16 записываем формулу расчета А₁, с указанием ячеек, где находятся используемые в формуле величины (рис.14). После ввода формулы нажимаем клавишу «Enter», и в ячейке появляется число. Затем в ячейке В17 аналогично рассчитываем А₀. Формула, по которой проводим расчет прописывается в ячейке и в строке расчетов, расположенной ниже Панели Инструментов.

Рис.14. Расчет параметров А₀ и А₁.

5. Для расчета параметров модели а₀ и а₁ следует, при необходимости, сделать обратные преобразования с А₀ и А₁. В нашем случае (см. п.2) A₀=lga₀, Следовательно, следует пересчитать только

A₀=lga₀, т.е. а₀=10^А0. (13)

По расчетам (рис.14) мы получили А₀= 4,10 А₁ =-3,00. Тогда а₀=10^А0=10^4,1, A₁=a₁=-3,0.

Таким образом, в результате расчетов получили уравнение

. (14)

Ответ: Параметры модели а₀=10^4,1, a₁=-3,0. Уравнение: .

Для того, чтобы количественно определить какая из структур адекватна исследуемым данным химического эксперимента следует воспользоваться мерой адекватности S (уравнение 7). В нашем случае для S=min используем относительную погрешность

, (15)

где подсчет признаков структуры и проводим по формулам, приведенным в табл. 3, а аппроксимацию по данным эксперимента осуществляет по формуле:

, (16)

где х_i и x_i+1 - соседние значения выборки Х, между которыми содержится численное значение признака , т.е.

. (17)

Таблица 4. Признаки структуры математической модели

Функция	Структура ММ	Признак	Признак
Линейная
Гиперболическая
Степенная
Экспоненциальная