7.2. Задачі

7.2.1. Типові задачі

Побудова ряду динаміки з обчисленням його числових характеристик (показників), визначенням основної тенденції розвитку та прогнозуванням.

Задача №22. Початкові умови. Річний обсяг виробництва продукції А в галузі протягом семи послідовних років становив (млн.т.) (таблиця):

Таблиця

Рік	1	2	3	4	5	6	7
Річний обсяг виробництва, млн.т	80	90	98	112	122	128	140

Завдання.

1) Побудувати ряд динаміки, встановивши його вид. Результати представити графічно.

2) Обчислити абсолютні, відносні та середні показники ряду.

3) Серед чотирьох моделей тренду (лінійної функції, квадратичної та кубічної парабол, показникової функції) визначити адекватну.

4) Провести екстраполяцію на рівні значущості α = 0,05 t-критерію, визначивши границі довірчого інтервалу для прогнозованого значення обсягу виробництва у восьмому році. Прогноз разом з адекватною моделлю зобразити на графіку.

Зробити висновки.

Розв’язок. Характеризуючи обсяг виробництва продукції окремо за кожен рік, даний ряд є інтервальним.

1) Представимо річний обсяг виробництва продукції А на останню дату кожного року, побудувавши лінійну діаграму (рис.).

Рис. Лінійна діаграма річних змін обсягу виробництва продукції А галузі

протягом 1-7 років

2) Обчислимо показники цього ряду.

2.1) Абсолютний приріст:

- базисний (7.1):

Δу_б2 = 90 – 80 = 10 (млн.т),

Δу_б3 = 98 – 80 = 18 (млн.т),

Δу_б4 = 112 – 80 = 32 (млн.т),

Δу_б5 = 122 – 80 = 42 (млн.т),

Δу_б6 = 128 – 80 = 48 (млн.т),

Δу_б7 = 140 – 80 = 60 (млн.т);

- ланцюговий (7.2):

Δу_л2 = 90 – 80 = 10 (млн.т),

Δу_л3 = 98 – 90 = 8 (млн.т),

Δу_л4 = 112 – 98 = 14 (млн.т),

Δу_л5 = 122 – 112 = 10 (млн.т),

Δу_л6 = 128 – 122 = 6 (млн.т),

Δу_л7 = 140 – 128 = 12 (млн.т);

2.2) Відносні (в процентах):

а) темп зростання:

- базисний (7.4):

Т_зб2 = 90 : 80 ∙ 100 = 112,50 (%),

Т_зб3 = 98 : 80 ∙ 100 = 122,50 (%),

Т_зб4 = 112 : 80 ∙ 100 = 140,00 (%),

Т_зб5 = 122 : 80 ∙ 100 = 152,50 (%),

Т_зб6 = 128 : 80 ∙ 100 = 160,00 (%),

Т_зб7 = 140 : 80 ∙ 100 = 175,00 (%);

- ланцюговий (7.5):

Т_зл2 = 90 : 80 ∙ 100 = 112,50 (%),

Т_зл3 = 98 : 90 ∙ 100 ≈ 108,89 (%),

Т_зл4 = 112 : 98 ∙ 100 ≈ 114,29 (%),

Т_зл5 = 122 : 112 ∙ 100 ≈ 108,93 (%),

Т_зл6 = 128 : 122 ∙ 100 ≈ 104,92 (%),

Т_зл7 = 140 : 128 ∙ 100 ≈ 109,38 (%);

б) темп приросту:

- базисний (7.6):

Т_пб2 = 112,50 – 100 = 12,50 (%),

Т_пб3 = 122,50 – 100 = 22,50 (%),

Т_пб4 = 112 : 80 – 100 = 40,00 (%),

Т_пб5 = 122 : 80 – 100 = 52,50 (%),

Т_пб6 = 128 : 80 – 100 = 60,00 (%),

Т_пб7 = 140 : 80 – 100 = 75,00 (%);

- ланцюговий (7.7):

Т_пл2 = 112,50 – 100 = 12,50 (%),

Т_пл3 = 108,89 – 100 = 8,89 (%),

Т_пл4 = 114,29 – 100 = 14,29 (%),

Т_пл5 = 108,93 – 100 = 8,93 (%),

Т_пл6 = 104,92 – 100 = 4,92 (%),

Т_пл7 = 109,38 – 100 = 9,38 (%);

в) темп нарощування (7.9):

Т_н2 = 10,00 : 80 ∙ 100 = 12,50 (%),

Т_н3 = 8,00 : 80 ∙ 100 = 10,00 (%),

Т_н4 = 14,00 : 80 ∙ 100 = 17,50 (%),

Т_н5 = 10,00 : 80 ∙ 100 = 12,50 (%),

Т_н6 = 6,00 : 80 ∙ 100 = 7,50 (%),

Т_н7 = 12,00 : 80 ∙ 100 = 15,00 (%);

2.3) Середні:

а) рівень ряду (7.11)

= (80 + 90 + 98 + 112 + 122 + 128 + 140) : 7 = 770 :7 = 110,00 (млн.т);

б) абсолютний ланцюговий приріст (7.14)

= (10 + 8 + 14 + 10 + 6 + 12) : 6 = 60 : 6 = 10,00 (млн.т);

в) темп зростання у формі середнього геометричного (7.16)

≈ 109,78 (%);

г) темп приросту (7.18)

= 109,78 – 100 = 9,78 (%).

Зручним є представлення обчислених показників у зведеній таблиці.

Зведена таблиця

Показник	Результати розрахунків для і-го звітного періоду							У середньому за період
	1	2	3	4	5	6	7
yi, млн.т	80,00	90,00	98,00	112,00	122,00	128,00	140,00	= 110
∆yбi, млн.т	х	10,00	18,00	32,00	42,00	48,00	60,00	х
∆yлi, млн.т	х	10,00	8,00	14,00	10,00	6,00	12,00	= 10
Тзбі,%	х	112,50	122,50	140,00	152,50	160,00	175,00	х
Тзлі, %	х	112,50	108,89	114,29	108,93	104,92	109,38	=109,78
Тпбі, %	х	12,50	22,50	40,00	52,50	60,00	75,00	х
Тплі, %	х	12,50	8,89	14,29	8,93	4,92	9,38	= 9,78
Тні, %	х	12,50	10,00	17,50	12,50	7,50	15,00	х

3) Побудуємо модель тренду за допомогою запропонованих математичних функцій. Для цього скористаємось методом найменших квадратів. Результати проміжних розрахунків представимо у розрахунковій таблиці №1. Значення часу представимо відповідно до способу його відліку від умовного початку.

Визначимо оцінки параметрів кожної моделі тренду:

- лінійної функції (7.29):

а₀ = 770 : 7 = 110 (млн.т),

а₁ = 280 : 28 = 10 (млн.т/р.);

Розрахункова таблиця №1

і	ti	ti²	ti³	ti4	ti6	yi	ti ∙ yi	ti² ∙ yi	ti³ ∙ yi	lgyi	ti ∙ lgyi
1	-3	9	-27	81	729	80,00	-240,00	720,00	-2160,00	1,903090	-5,709270
2	-2	4	-8	16	64	90,00	-180,00	360,00	-720,00	1,954243	-3,908485
3	-1	1	-1	1	1	98,00	-98,00	98,00	-98,00	1,991226	-1,991226
4	0	0	0	0	0	112,00	0,00	0,00	0,00	2,049218	0,000000
5	1	1	1	1	1	122,00	122,00	122,00	122,00	2,086360	2,086360
6	2	4	8	16	64	128,00	256,00	512,00	1024,00	2,107210	4,214420
7	3	9	27	81	729	140,00	420,00	1260,00	3780,00	2,146128	6,438384
Σ	0	28	0	196	1588	770,00	280,00	3072,00	1948,00	14,24	1,13

- квадратичної параболи (7.30):

а₀ = (196 ∙ 770 – 28 ∙ 3072) : (7 ∙ 196 – 28 ∙ 28) ≈ 110,380952 (млн.т),

а₁ = 280 : 28 = 10 (млн.т/р.),

а₂ = (7 ∙ 3072 – 28 ∙ 770) : (7 ∙ 196 – 28 ∙ 28) ≈ -0,095238 (млн.т/р²);

- кубічної параболи (7.31):

а₀ = (196 ∙ 770 – 28 ∙ 3072) : (7 ∙ 196 – 28 ∙ 28) ≈ 110,380952 (млн.т),

а₁ = (1588 ∙ 280 – 196 ∙ 1948) : (28 ∙ 1588 – 196 ∙ 196) ≈ 10,388889 (млн.т/р),

а₂ = (7 ∙ 3072 – 28 ∙ 770) : (7 ∙ 196 – 28 ∙ 28) ≈ -0,095238 (млн.т/р.²),

а₃ = (28 ∙ 1948 – 196 ∙ 280) : (28 ∙ 1588 – 196 ∙ 196) ≈ -0,055556 (млн.т/р³);

- показникової функції (7.32):

а₀ = 10^{14,24 : 7} ≈ 108,124701 (млн.т),

а₁ = 10^{1,13 : 28} ≈ 1,097397.

Отже, модель тренду виглядає так:

- лінійна функція (№1) – Y_t = 110 + 10 ∙ t;

- квадратична парабола (№2) – Y_t = 110,380952 + 10 ∙ t – 0,095238 ∙ t²;

- кубічна парабола (№3) – Y_t = 110,380952 + 10,388889 ∙ t – 0,095238 ∙ t² –

– 0,055556 ∙ t³;

- показникові функція (№4) – Y_t = 108,124701 ∙ 1,097397^t.

Спробуємо вибрати серед них адекватну. Для цього спочатку перевіримо на незмінність у часі ланцюгові показники:

- абсолютний приріст:

К_5% = (14 – 6) : 10 ∙ 100 = 80 (%);

- темп приросту:

К_5% = (14,29 – 4,92) : 9,78 ∙ 100 ≈ 95,81 (%);

- темп зростання:

К_5% = (114,29 – 104,92) : 109,78 ∙ 100 ≈ 8,54 (%)

Жоден з цих показників не може бути визнаним незмінним у часі, тому що коливання в обидва боки від середнього значення однойменного показника скрізь перевищують критичний, 5%-ий, бар’єр. Тому адекватну модель визначимо по мінімальному значенню середньої квадратичної похибки апроксимації. Результати проміжних розрахунків СКП кожної моделі (з номерами 1, 2, 3, 4 відповідно) зведемо у розрахункову таблицю №2.

Середня квадратична похибка для кожної із запропонованих моделей становить (7.26):

- для лінійної функції – σ_{апрокс.} = √(16 : 7) ≈ 1,511858 (млн.т);

- для квадратичної параболи – σ_{апрокс.} = √(15,238095 : 7) ≈ 1,475422 (млн.т);

- для кубічної параболи – σ_{апрокс.} = √(14,571429 : 7) ≈ 1,442786 (млн.т);

- для показникової функції – σ_{апрокс.} = √(43,096683 : 7) ≈ 2,481264 (млн.т).

Розрахункова таблиця №2

i	ti	yi	yti				(yi – yti)²
			№1	№2	№3	№4	№1	№2	№3	№4
1	-3	80	80	79,523810	79,857143	81,815182	0	0,226757	0,020408	3,294887
2	-2	90	90	90,000000	89,666667	89,783716	0	0,000000	0,111111	0,046779
3	-1	98	100	100,285714	99,952381	98,528358	4	5,224490	3,811791	0,279162
4	0	112	110	110,380952	110,380952	108,124701	4	2,621315	2,621315	15,017944
5	1	122	120	120,285714	120,619048	118,655696	4	2,938776	1,907029	11,184370
6	2	128	130	130,000000	130,333333	130,212376	4	4,000000	5,444444	4,894607
7	3	140	140	139,523810	139,190476	142,894639	0	0,226757	0,655329	8,378934
Σ	0	770	770	770,000000	770,000000	770,014668	16	15,238095	14,571429	43,096683

Отже, адекватною є кубічна парабола

Y_t = 110,380952 + 10,388889 ∙ t – 0,095238 ∙ t² – 0,055556 ∙ t³,

тому що для неї СКП апроксимації є найменшою (1,442786).

4) Екстраполяцію ряду динаміки виконаємо з використанням адекватної моделі, для чого:

а) визначимо точкову оцінку прогнозованого рівня ряду підстановкою в рівняння моделі наступного значення (t₈ = 4) часу:

у_t8 = 110,380952 + 10,388889 ∙ 4 – 0,095238 ∙ 4² – 0,055556 ∙ 4³ ≈

≈ 146,857143 (млн.т.);

б) визначимо середню квадратичну похибку екстраполяції (7.33):

σ_екстр. = √(14,571429 : (7 – 4)) ≈ 2,203893 (млн.т);

в) визначимо значення t-критерію на рівні значущості α = 0,05 з кількістю ступенів свободи m = 7 – 4 = 3, для чого скористаємось статистичною таблицею t-розподілу (Д.4):

|t|_3;1-0,05 ≈ 3,18;

г) визначимо граничну похибку екстраполяції (7.36):

δ_екстр. = 3,18 ∙ 2,203893 ≈ 7,008380 (млн.т);

ґ) зробимо інтервальну оцінку прогнозованого рівня ряду, для чого визначимо границі довірчого інтервалу І_α (7.34):

І_0,05 = [146,857143 – 7,008380; 146,857143 + 7,008380] =

= [139,848763; 153,865523] (млн.т; млн.т).

д) зобразимо на графіку прогноз (сектор можливих змін обсягу виробництва) разом з адекватною моделлю (рис.):

Сектор можливих змін

І_α

Рис. Аналітичне вирівнювання ряду динаміки (ряд 1) кубічною параболою (ряд 2)

з екстраполяцією (І_α) на восьмий рік

Висновки:

1) Річний обсяг виробництва продукції А щороку поступово збільшується, про що свідчить побудований інтервальний ряд динаміки.

2) Збільшення обсягу виробництва має такі особливості (числові характеристики):

а) щодо абсолютного приросту виробництва:

- кожного року порівняно з першим роком відбувається абсолютний приріст виробництва, який в динаміці є поступово зростаючим від 10 млн.т в другому році до 60 млн.т в сьомому, останньому, році;

- кожного року порівняно з попереднім роком відбувається абсолютний приріст виробництва, який в динаміці має коливальний характер: від 6 млн.т. в шостому, передостанньому, році до 14 млн.т в четвертому, центральному, році;

б) щодо відносних змін виробництва:

- кожного року порівняно з першим роком відбувається відносне збільшення (зростання) виробництва, яке в динаміці є поступово зростаючим від 112,5 % в другому році до 175 % в сьомому, останньому, році;

- кожного року порівняно з попереднім роком відбувається відносне збільшення (зростання) виробництва, яке в динаміці має коливальний характер: від 104,92 % в шостому, передостанньому, році до 114,29 % в четвертому, центральному, році;

- кожного року порівняно з першим роком відбувається відносний приріст виробництва, який в динаміці є поступово зростаючим від 12,5 % в другому році до 75 % в сьомому, останньому, році;

- кожного року порівняно з попереднім роком відбувається відносний приріст виробництва, який в динаміці має коливальний характер: від 4,92 % в шостому, передостанньому, році до 14,29 % в четвертому, центральному, році;

- кожного року порівняно з першим роком відбувається відносне нарощування виробництва, яке в динаміці має коливальний характер: від 7,5 % в шостому, передостанньому, році до 17,5 % в четвертому, центральному, році;

в) щодо середніх характеристик виробництва:

- із загальних 770 млн.т. продукції, виробленої протягом семи послідовних років, кожного року у середньому, рівними частинами, виробляється по 110 млн.т. продукції;

- у середньому кожного року виробляється на 10 млн.т. продукції більше, ніж в попередньому році;

- у середньому кожного року порівняно з попереднім роком відбувалося відносне зростання вироблення у 109,78 %, що еквівалентно щорічному збільшенню (приросту) виробництва у середньому на 9,78 %.

3) Основна тенденція розвитку (тренд) в даному ряду динаміки більше нагадує кубічну параболу Y_t = 110,380952 + 10,388889 ∙ t – 0,095238 ∙ t² – – 0,055556 ∙ t³: середня квадратична похибка апроксимації цієї функціє є найменшою (1,442786 млн.т) серед усіх чотирьох запропонованих моделей, – її визначення стало єдиним можливим способом вибору адекватної моделі тренду – жоден з ланцюгових показників динаміки не дає уявлення про основну тенденцію через значні (> 5%) відносні зміни у часі.

4) Довірчий інтервал в границях 139,848763 млн.т і 153,865523 млн.т, визначених з використанням адекватної моделі тренду, на рівні значущості α = 0,05 t-критерію «накриває» прогнозоване значення річного обсягу виробництва продукції А у восьмому році.

Згладжування методом плинного середнього.

Задача №23. Завдання. По даних про реалізацію продуктів сільськогосподарського виробництва магазинами споживчої кооперації міста (таблиця) побудувати ряд динаміки, виконати його аналітичне вирівнювання адекватною моделлю тренду, а також згладжування методом плинного середнього. Даний ряд, його адекватну модель тренду і згладжену криву зобразити на одному графіку. Зробити висновок (провести порівняльний аналіз результатів, отриманих від застосованих методів).

Таблиця

Середньоденна реалізація (Y, тис.грош.од.)

Квартал	1-й рік	2-й рік	3-й рік	4-й рік
І	180	252	425	431
ІІ	268	303	446	455
ІІІ	331	371	458	487
ІV	302	346	404	465

Розв’язок.

1) Побудуємо даний ряд динаміки (ряд 1 на рисунку).

500

Y, тис.грош.од.

450

400

350

300

250

200

150

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Ряд1

Квартал

Ряд2

Ряд3

1-й рік

2-й рік

3-й рік

4-й рік

Рис. Аналітичне вирівнювання ряду динаміки щоквартальної середньоденної реалізації

продуктів (ряд 1) адекватною моделлю тренду (кубічною параболою – ряд 2), його

згладжування методом плинного середнього (ряд 3)

2) Виконаємо аналітичне вирівнювання ряду адекватною моделлю тренду, для чого в якості функціональних моделей тренду візьмемо лінійну функцію, квадратичну і кубічну параболи та показникову функцію. Оцінки параметрів кожної моделі визначимо методом найменших квадратів. Адекватну серед них модель оберемо за найменшою середньою квадратичною похибкою апроксимації.

Результати проміжних розрахунків зведемо в розрахункову таблицю №1.

Розрахункова таблиця №1

і	ti	ti²	ti³	ti4	ti6	yi	ti ∙ yi	ti² ∙ yi	ti³ ∙ yi	lgyi	ti ∙ lgyi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	-15	225	-3375	50625	11390625	180	-2700	40500	-607500	2,255272505	-33,82908758
2	-13	169	-2197	28561	4826809	268	-3484	45292	-588796	2,428134794	-31,56575232
3	-11	121	-1331	14641	1771561	331	-3641	40051	-440561	2,519827994	-27,71810793
4	-9	81	-729	6561	531441	302	-2718	24462	-220158	2,480006943	-22,32006249
5	-7	49	-343	2401	117649	252	-1764	12348	-86436	2,401400541	-16,80980379
6	-5	25	-125	625	15625	303	-1515	7575	-37875	2,481442629	-12,40721314
7	-3	9	-27	81	729	371	-1113	3339	-10017	2,56937391	-7,708121729
8	-1	1	-1	1	1	346	-346	346	-346	2,539076099	-2,539076099
9	1	1	1	1	1	425	425	425	425	2,62838893	2,62838893
10	3	9	27	81	729	446	1338	4014	12042	2,649334859	7,948004576
11	5	25	125	625	15625	458	2290	11450	57250	2,660865478	13,30432739
12	7	49	343	2401	117649	404	2828	19796	138572	2,606381365	18,24466956
13	9	81	729	6561	531441	431	3879	34911	314199	2,63447727	23,71029543
14	11	121	1331	14641	1771561	455	5005	55055	605605	2,658011397	29,23812536
15	13	169	2197	28561	4826809	487	6331	82303	1069939	2,687528961	34,9378765
16	15	225	3375	50625	11390625	465	6975	104625	1569375	2,667452953	40,01179429
Σ	0	1360	0	206992	37308880	5924	11790	486492	1775718	40,866977	15,126257

На відміну від попередньої задачі, даний ряд містить парну кількість (16) відліків часу, тому відстань між сусідніми значеннями для зручності оберемо рівною двом, а самі значення часу становитиме: {-15, -13, …, -3, -1, 1, 3, …, 13, 15} (графа 2).

Визначимо оцінки параметрів кожної моделі тренду:

- лінійної функції (7.29):

а₀ = 5924 : 16 = 370,25 (тис.грош.од.),

а₁ = 11790 : 1360 ≈ 8,66912 (тис.грош.од./півкварталу);

- квадратичної параболи (7.30):

а₀ = (206992 ∙ 5924 – 1360 ∙ 486492) : (16 ∙ 206992 – 1360 ∙ 1360) ≈

≈ 386,10566 (тис.грош.од.),

а₁ = 11790 : 1360 ≈ 8,66912 (тис.грош.од./півкварталу),

а₂ = (16 ∙ 486492 – 1360 ∙ 5924) : (16 ∙ 206992 – 1360 ∙ 1360) ≈

≈ -0,18654 (тис.грош.од./півкварталу ²);

- кубічної параболи (7.31):

а₀ = (206992 ∙ 5924 – 1360 ∙ 486492) : (16 ∙ 206992 – 1360 ∙ 1360) ≈

≈ 386,10566 (тис.грош.од.),

а₁ = (37308880 ∙ 11790 – 206992 ∙ 1775718) : (1360 ∙ 37308880 – 206992 × × 206992) ≈ 9,15996 (тис.грош.од./півкварталу),

а₂ = (16 ∙ 486492 – 1360 ∙ 5924) : (16 ∙ 206992 – 1360 ∙ 1360) ≈

≈ -0,18654 (тис.грош.од./півкварталу ²),

а₃ = (1360 ∙ 1775718 – 206992 ∙ 11790) : (1360 ∙ 37308880 – 206992 ∙ 206992) ≈

≈ -0,00323 (тис.грош.од./півкварталу ³);

- показникової функції (7.32):

а₀ = 10^{40,866977: 16} ≈ 358,24987 (тис.грош.од.),

а₁ = 10^{15,126257: 1360} ≈ 1,02594.

Отже, модель тренду виглядає так:

- лінійна функція (№1) – Y_t = 370,25 + 8,66912 ∙ t;

- квадратична парабола (№2) – Y_t = 386,10566 + 8,66912 ∙ t – 0,18654 ∙ t²;

- кубічна парабола (№3) – Y_t = 386,10566 + 9,15996 ∙ t – 0,18654 ∙ t² – – 0,00323 ∙ t³;

- показникові функція (№4) – Y_t = 358,24987 ∙ 1,02594^t.

Результати проміжних розрахунків СКП кожної моделі (з номерами 1, 2, 3, 4 відповідно) зведемо у розрахункову таблицю №2.

Теоретичні значення рівня ряду y_ti визначаються підстановкою нових значень часу в рівняння тренду (графи 4-7). Повинна виконуватись тотожність Σy_ti ≡ Σy_i (підсумок граф 3-7: так воно й є – 5924 = 5924; відмінність суми теоретичних рівнів показникової функції обумовлена нелінійним характером перетворень всупереч лінійності МНК).

Розрахункова таблиця №2

i	ti	yi	yti				(yi – yti)²
			№1	№2	№3	№4	№1	№2	№3	№4
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	-15	180	240,213235	214,098039	217,619711	243,978930	3625,633705	1162,676278	1415,242659	4093,303507
2	-13	268	257,551471	241,882353	242,586687	256,801064	109,171767	682,131488	645,836462	125,416176
3	-11	331	274,889706	268,174370	267,067559	270,297055	3148,365106	3947,059817	4087,357063	3684,847546
4	-9	302	292,227941	292,974090	290,907526	284,502318	95,493134	81,467058	123,042976	306,168874
5	-7	252	309,566176	316,281513	313,951791	299,454128	3313,864673	4132,112863	3838,024438	2251,894299
6	-5	303	326,904412	338,096639	336,045555	315,191720	571,420902	1231,774045	1092,008709	148,638039
7	-3	371	344,242647	358,419468	357,034019	331,756389	715,955936	158,269791	195,048629	1540,060972
8	-1	346	361,580882	377,250000	376,762384	349,191603	242,763895	976,562500	946,324263	10,186328
9	1	425	378,919118	394,588235	395,075851	367,543111	2123,447718	924,875433	895,454670	3301,294103
10	3	446	396,257353	410,434174	411,819623	386,859069	2474,330936	1264,928003	1168,298200	3497,649707
11	5	458	413,595588	424,787815	426,838899	407,190163	1971,751784	1103,049224	971,014233	2581,639506
12	7	404	430,933824	437,649160	439,978881	428,589743	725,430850	1132,265946	1294,479880	604,655471
13	9	431	448,272059	449,018207	451,084771	451,113962	298,324016	324,655794	403,398016	404,571480
14	11	455	465,610294	458,894958	460,001769	474,821925	112,578341	15,170698	25,017694	392,908719
15	13	487	482,948529	467,279412	466,575077	499,775843	16,414414	388,901600	417,177463	163,222157
16	15	465	500,286765	474,171569	470,649897	526,041195	1245,155763	84,117671	31,921334	3726,027484
Σ	0	5924	5924,000000	5924,000000	5924,000000	5893,108219	20790,102941	17610,018207	17549,646690	26832,484368

Середня квадратична похибка (7.26) для кожної із обраних моделей становить:

- для лінійної функції – σ_{апрокс.} = √(20790,102941 : 16)

≈ 36,046934 (тис.грош.од.);

- для квадратичної параболи – σ_{апрокс.} = √(17610,018207 : 16) ≈

≈ 33,175686 (тис.грош.од.);

- для кубічної параболи – σ_{апрокс.} = √(17549,646690 : 16)

≈ 33,118770 (тис.грош.од.);

- для показникової функції – σ_{апрокс.} = √(26832,484368 : 16) ≈

≈ 40,951560 (тис.грош.од.).

Отже, адекватною є кубічна парабола (ряд 2 на рисунку)

Y_t = 386,10566 + 9,15996 ∙ t – 0,18654 ∙ t² – 0,00323 ∙ t³,

тому що для неї СКП апроксимаціє є найменшою (33,118770).

3) Виконаємо згладжування ряду динаміки методом плинного середнього в два етапи, представляючи результати в розрахунковій таблиці №3.

Розрахункова таблиця №3

Рік (j)	Квартал	і	yi	(yi + yi+1 + yi+2 + yi+3) : 4	усі = (yi + yi+1) : 2
1	2	3	4	5	6
1	І	1	180	-	-
	ІІ	2	268	270,250000	-
	ІІІ	3	331	288,250000	279,250000
	ІV	4	302	297,000000	292,625000
2	І	5	252	307,000000	302,000000
	ІІ	6	303	318,000000	312,500000
	ІІІ	7	371	361,250000	339,625000
	ІV	8	346	397,000000	379,125000
3	І	9	425	-	407,875000
	ІІ	10	446	418,750000	426,000000
	ІІІ	11	458	433,250000	434,000000
	ІV	12	404	434,750000	435,875000
4	І	13	431	437,000000	440,625000
	ІІ	14	455	444,250000	451,875000
	ІІІ	15	487	459,500000	-
	ІV	16	465	-	-

На першому етапі, рахуючи зліва направо по часовій осі, поступово, крок за кроком, будемо визначати середнє арифметичне значення чотирьох сусідніх значень ряду: спочатку з першого по четвертий, потім з другого по п’ятий і т.д. до кінця ряду (плинні середні в графі 5). На другому етапі виконаємо аналогічну процедуру, але вже осереднюючи результати першого етапу по двох сусідніх значеннях (згладжені значення в графі 6). Нові, згладжені, значення відкладемо на діаграмі, починаючи з третього відліку часу (ряд 3 на рисунку).

Висновки:

1) Даний ряд динаміки має характерні періодичні, повторювані кожного року, зміни ряду динаміки: збільшення обсягу реалізації продукції в другому і третьому кварталах і його зменшення в четвертому кварталі, – а це дає підстави стверджувати, що в ряду спостерігаються сезонні коливання.

2) Після аналітичного вирівнювання даного ряду чотирма математичними моделями (лінійною функцією, квадратичною і кубічною параболами та показниковою функцією) й обчислення СКП кожної з них вдалося встановити, що адекватною серед цих моделей є кубічна парабола Y_t = 386,10566 + 9,15996 ∙ t– – 0,18654 ∙ t² – 0,00323 ∙ t³. Параметри моделі були оцінені методом найменших квадратів.

3) Апроксимація ряду можлива не тільки через визначення адекватної функції, а і через осереднення рівнів ряду методом плинного середнього з побудовою згладженої кривої.

4) Порівняльний аналіз адекватної моделі та згладженої кривої свідчить про те, що вони мають достатню збіжність: відмінність теоретичних і згладжених рівнів ряду у відповідні моменти часу не перевищує 5% продовж усієї часової осі, за винятком ІІ-го кварталу 2-го року (7 %).

5) Більш детальне вивчення сезонних коливань стає можливим завдяки специфічним методам постійного та змінного середнього, а також методу рядів Фур’є.

Вивчення сезонних коливань; методи постійного та змінного середнього, метод рядів Фур’є.

Метод змінного середнього.

Задача №24. Завдання. За умов задачі №23 методом змінного середнього побудувати сезонну хвилю середньоденної реалізації, розрахувавши індекси сезонності (в процентах) (дані подати таблицею та графічно). Зробити висновок.

Розв’язок. Дана задача зводиться до визначення квартальних значень середнього індексу сезонності, які представляють сезонну хвилю середньоденної реалізації продуктів протягом умовного року. Середній індекс сезонності умовного кварталу обчислюється по відповідних квартальних значеннях індексів сезонності усіх чотирьох років. Індекси сезонності визначаються як співвідношення відповідних фактичних значень рівня ряду динаміки (з таблиці початкових даних) і теоретичних значень рівня (з рівняння адекватної моделі тренду Y_t = 386,10566 + 9,15996 ∙ t – 0,18654 ∙ t² – 0,00323 ∙ t³).

Для зручності початкові дані та результати проміжних розрахунків зведемо в розрахункову таблицю.

Розрахункова таблиця

Рік	Квартал	і	ti	yi	yti	yi : yti ∙ 100
1	2	3	4	5	6	7
1	І	1	-15	180	217,619711	82,713096
	ІІ	2	-13	268	242,586687	110,475972
	ІІІ	3	-11	331	267,067559	123,938677
	ІV	4	-9	302	290,907526	103,813058
2	І	5	-7	252	313,951791	80,267101
	ІІ	6	-5	303	336,045555	90,166347
	ІІІ	7	-3	371	357,034019	103,911667
	ІV	8	-1	346	376,762384	91,835070
3	І	9	1	425	395,075851	107,574279
	ІІ	10	3	446	411,819623	108,299842
	ІІІ	11	5	458	426,838899	107,300436
	ІV	12	7	404	439,978881	91,822589
4	І	13	9	431	451,084771	95,547451
	ІІ	14	11	455	460,001769	98,912663
	ІІІ	15	13	487	466,575077	104,377628
	ІV	16	15	465	470,649897	98,799554
Σ		x	0	5924	5924	х

Відношення фактичних значень рівня ряду y_i (графа 5) до теоретичних його значень (графа 6) дає відповідне значення індексу сезонності (графа 7).

Отже, середній індекс сезонності становить (7.39):

- у першому кварталі умовного року

= (82,713096 + 80,267101 + 107,574279 + 95,547451) : 4 ≈ 91,53 (%);

- у другому кварталі умовного року

= (110,475972 + 90,166347 + 108,299842 + 98,912663) : 4 ≈ 101,96 (%);

- у третьому кварталі умовного року

= (123,938677 + 103,911667 + 107,300436 + 104,377628) : 4 ≈ 109,88 (%);

- у четвертому кварталі умовного року

= (103,813058 + 91,835070 + 91,822589 + 98,799554) : 4 ≈ 96,57 (%).

Побудуємо сезонну хвилю (ряд 1 на рисунку).

Рис. Модель сезонної хвилі щоквартальної середньоденної реалізації продуктів

протягом умовного року: ряд 1 – побудована методом змінного середнього;

ряд 2 – побудована методом постійного середнього; 3 – побудована через

згладжування ряду методом ковзного середнього

Висновок: У даному ряду відбуваються сезонні коливання: середньоденна реалізація сільськогосподарської продукції в магазинах споживчої кооперації кожного року, починаючи з першого кварталу, поступово збільшується, й у другому-третьому кварталах стає найбільшою, а далі, до кінця року (у четвертому кварталі), зменшується. Враховуючи те, що тренд даного ряду має зростаючу по кубічній параболі тенденцію (Y_t = 386,10566 + 9,15996 ∙ t – 0,18654 × × t² – 0,00323 ∙ t³), коли кожного кварталу спостерігається збільшення обсягу реалізації у середньому на 19 тис.грош.од. (середній абсолютний ланцюговий приріст), для аналізу сезонних коливань застосований метод змінного середнього з побудовою моделі сезонної хвилі.

Аналіз динаміки по сезонній хвилі свідчить, що у другому і третьому кварталах кожного року середньоденна реалізація сільськогосподарської продукції в магазинах споживчої кооперації у середньому перевищує відповідні теоретичні, трендові, значення цього показника на 1,96 % (101,96 – 100) і на 9,88 % (109,88 – 100), чого не можна сказати про перший і четвертий квартали, коли відбувається її «відставання» від загальної середньої тенденції на 8,47 % (91,53 – 100) і 3,43 % (96,57 – 100) відповідно.

Задача №25. Завдання. За умов задачі №23 і по результатах згладжування ряду динаміки методом плинного середнього, отриманих там же, побудувати сезонну хвилю, скориставшись методом змінного середнього (зобразити на тому ж самому графіку, що і в задачі №24). Зробити висновок і провести порівняльний аналіз обох кривих.

Розв’язок. Дана задача розв’язується аналогічно задачі №24, але індекси сезонності визначаються як співвідношення відповідних фактичних значень рівня ряду динаміки (з таблиці початкових даних) і згладжених значень рівня (з графи 6 розрахункової таблиці №3).

Для зручності результати проміжних розрахунків зведемо в розрахункову таблицю.