Розрахункова таблиця
Серія (ri) |
% браку, (ωі) |
(ωі – )², %² |
1 |
1 |
4 |
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
4 |
3 |
0 |
5 |
5 |
4 |
6 |
2 |
1 |
7 |
6 |
9 |
8 |
3 |
0 |
9 |
1 |
4 |
10 |
3 |
0 |
Всього: |
30 |
24 |
3) Визначимо СКП вибірки (6.31):
=
0,(24) (%).
4) Знайдемо коефіцієнт довіри із статистичної таблиці значень двостороннього t-критерію (Д.4):
≈
2,2622.
5) Визначимо граничну похибку вибірки (6.16):
δ = 2,2622 ∙ 0,(24) = 0,548412 (%).
6) Визначимо границі довірчого інтервалу (6.24):
Іα = [3 – 0,548412; 3 + 0,548412] = [2,451588; 3,548412] ≈ [2,45; 3,55] (%; %).
Висновок: Отже, довірчий інтервал з границями 2,45 % і 3,55 % із заданою імовірністю 0,95 «накриває» область можливих значень процента браку в цілому в усій партії готових виробів з 10000 одиниць.
Визначення оптимальної чисельності вибірки.
Задача №19. Завдання. Встановити, яким має бути об’єм власно-випадкової повторної і безповторної вибірки за умов задачі №15, якщо за інших рівних умов (незмінними залишаються відома генеральна дисперсія, коефіцієнт довіри (розглянути дві ситуації: α = 0,05 і α = 0,01), об’єм генеральної сукупності) відповідне значення граничної похибки вибірки, знайденої в задачі №15, зменшити вдвічі. Зробити висновок.
Розв’язок. Ця задача є зворотною по відношенню до задачі №15, де об’єм вибірки був відомий, а гранична похибка вибірки підлягала визначенню. Щоб визначити об’єм вибірки, маємо йти від зворотного: через значення граничної похибки, яке визначено в задачі №15 і яке треба зменшити вдвічі, з формули, що визначає цю похибку при інших незмінних величинах, треба вивести формулу об’єму вибірки.
Враховуючи те, що генеральна дисперсія є відомою (DГСС = 34997,864100 грн. ²), для обчислення оптимальної чисельності вибірки скористаємось в якості коефіцієнта довіри значеннями и-критерію на відповідних рівнях значущості α = 0,05 і α = 0,01: |u|1 – α = |u|0,95 ≈ 1,9600 і |u|1 – α = |u|0,99 ≈ 2,5758 (Д.2).
1) Визначимо нові значення граничної похибки вибірки:
а) для повторного відбору:
- на рівні значущості α = 0,05:
δ = 35,873117 : 2 ≈ 17,936559,
- на рівні значущості α = 0,01:
δ = 47,145267 : 2 ≈ 23,572634;
б) для безповторного відбору:
- на рівні значущості α = 0,05:
δ = 35,512574 : 2 = 17,756287,
- на рівні значущості α = 0,01:
δ = 46,671433 : 2 ≈ 23,335717.
2) Визначимо оптимальну чисельність вибірки:
а) для повторного відбору:
- на рівні значущості α = 0,05:
nopt. = 1,96² ∙ 334997,8641 : 17,936559² ≈ 4000,
- на рівні значущості α = 0,01:
nopt. = 2,5758² ∙ 334997,8641 : 23,572634² ≈ 4000;
б) для безповторного відбору:
- на рівні значущості α = 0,05:
nopt. = 50000 ∙ 1,96² ∙ 334997,8641 : (50000 ∙ 17,756287² +
+ 1,96² ∙ 334997,8641) ≈ 3774,
- на рівні значущості α = 0,01:
nopt. = 50000 ∙ 2,5758² ∙ 334997,8641 : (50000 ∙ 23,335717² +
+ 2,5758² ∙ 334997,8641) ≈ 3774.
Висновок: Отже, для забезпечення вдвічі меншої, ніж в задачі №15, похибки вибірки за інших рівних умов з генеральної сукупності в 50-т тис. сімей необхідно відібрати у власно-випадковому порядку: шляхом повторного відбору – 4000 сімей (в чотири рази більше), а шляхом безповторного відбору – 3774 сім’ї (в 3,774 рази більше), – незалежно від рівня значущості обраного критерію. Безповторний відбір дає меншу кількість одиниць у вибірці (в 1,06 разів) за рахунок меншої похибки вибірки. Незалежність nopt. від значення рівня значущості критерію (довірчої ймовірності) пояснюється тим, що гранична похибка вибірки прямо пропорційно залежить від коефіцієнта довіри, а тому, знаходячись окремо одне від одного відповідно в знаменнику та чисельнику формули nopt., вони компенсують зміну рівня значущості критерію.
Розповсюдження характеристик вибірки на ГСС.
Спосіб прямого перерахування.
Задача №20. Завдання. По результатах розв’язку задачі №18 визначити мінімальну (Nб. min) і максимальну (Nб. max) кількість бракованих виробів у цілому в партії з 10 тис. одиниць готових виробів. Зробити висновок.
Розв’язок. Для цього достатньо помножити розмір партії (10000 од.) на питому вагу браку по його границях, визначених в ГСС: спочатку – по нижній (0,0245), а потім – по верхній (0,0355) (6.25):
Nб. min = 10000 ∙ 0,0245 = 245 (од.),
Nб. max = 10000 ∙ 0,03552 = 355 (од.).
Висновок: Отже, кількість бракованих виробів в партії з 10 тис. готових виробів наближено (з 5%-ною похибкою) становить від 245 до 355 одиниць виробів.
Спосіб поправочних коефіцієнтів.
Задача №21. Початкові умови. По результатах суцільного обстеження рівня безробіття серед 500 тис. одиниць працездатного населення N-ої обл. на кінець попереднього року було зареєстровано 11 % безробітних, серед яких на обліку в обласному центрі зайнятості знаходилось 5500 безробітних. На кінець першого кварталу наступного року на обліку цього центру знаходилось 5555 безробітних.
Завдання. По даних обласного центра зайнятості уточнити відсоток безробітних серед працездатного населення N-ої обл. на кінець першого кварталу наступного року, якщо в області на цей час було зареєстровано 498 тис. одиниць працездатного населення.
Розв’язок.
1) Знайдемо поправочний коефіцієнт, як відношення нової та попередньої кількості безробітних:
Кω = 5555 : 5500 = 1,01.
2) Визначимо кількість безробітних в області на кінець попереднього року:
N = 500000 ∙ 11 : 100 = 55000 (од.).
3) Нова, уточнена кількість безробітних (6.26) –
N ω = 55000 ∙ 1,01 = 55550 (од.).
4) Отже, відсоток безробітних серед 498 тис. одиниць працездатного населення на кінець першого кварталу наступного року приблизно такий:
Кб. (%) = 55550 : 498000 ∙ 100 = 11,154618… ≈ 11,15 (%).
Відповідь: 11,15 %.