Функция распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), равная вероятности P(X<x) того, что случайная ве­личина приняла значение, меньшее х, т.е. .

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределения.

Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]: .

Свойство 2: F(x) – неубывающая функция, т. е. F(x₂) ≥F(x₁), если х₂>x₁.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(аХ<b)=F(b)– F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то F(x)=0 при хa; F(x)=1 при хb.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 . При возрастании х в интервале (а, b), в котором за­ключены все возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх». При х а ординаты графика равны нулю; при х b ординаты графика равны единице.

Рис. 8.1

Следует отметить, что график дискретной функции распределения имеет ступенчатый вид.

Плотность распределения вероятностей. Дифференциальная функция распределения

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функцию f(x) – первую производную от функции распределения: .

Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприменима. Иногда функцию плотности распределения называют дифференциальной функцией распределения. Линию y=f(x) называют кривой распределения.

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в результате испытания примет какое-нибудь значение из интервала (a, b), равна определенному интегралу от плотности вероятности в пределах от a до b:

.

Свойство 2. Если значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то имеет место утверждение .

Свойство 3. Плотность вероятности функция неотрицательная f(x)0.

Характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) на отрезке [a, b].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определенный интеграл:

.

Введем понятие дисперсии для непрерывной случайной величины, заданной

Дисперсией непрерывной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонений, если возможные значения принадлежат отрезку [a, b]:

.

Замечание. Для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины удобно пользоваться формулой: .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется также как и для дискретной случайной величины:

.