9.6. Стоячие волны
Важным случаем интерференции волн является образование стоячих волн. Стоячие волны представляют собой не распространяющиеся в пространстве гармонические колебания с различными, но постоянными для каждой точки амплитудами. Такие волны возникают при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой, например, при наложении друг на друга прямой и отраженной от идеального отражателя волн.
Предположим,
что в положительном направлении оси X
распространяется бегущая волна
(прямая волна). При отражении ее от правой
границы в точке x
= l
возникнет бегущая волна
распространяющаяся вдоль отрицательного
направления оси X.
Слагаемое θ
в фазе волны учитывает возможное
изменение фазы волны при отражении.
Волна
отразится от левого конца (точки
)
и будет распространяться вправо и т.д.
Таким образом, на участке между точками
и x = l
в результате многократных отражений
от его границ будут распространяться
в противоположных направлениях две
группы волн одинаковой частоты и
амплитуды. При их наложении и возникает
стоячая волна.
По принципу суперпозиции находим
откуда
(7.7)
Возможны два случая: 1) изменения фазы волны при отражении не происходит; 2) при отражении волны фаза изменяется на π.
1. Если изменения фазы волны при отражении не происходит, то из выражения (6.7) получаем
(7.8)
Эта
функция описывает колебание с частотой
ω. Величина
не зависит от времени и поэтому имеет
постоянное значение для фиксированной
точки x.
Эту величину называют амплитудой стоячей
волны. Следовательно, при отражении
волн на границах устанавливаются
колебания с амплитудой
которая изменяется от точки к точке по
гармоническому закону, но для данной
точки является постоянной. Таким образом,
в отличие от бегущих волн, для которых
фаза колебаний изменяется в зависимости
от координаты x,
а амплитуда постоянна, в стоячих волнах
амплитуда зависит от координаты
колеблющейся точки, а фаза постоянна.
При этом амплитуда колебаний в одних
точках будет принимать максимальные
(равные 2А),
а в других минимальные (равные нулю)
значения. Точки с максимальной амплитудой
называются пучностями стоячей волны,
а точки с минимальной амплитудой –
узлами стоячей волны. Колебания точек
в стоячей волне показаны на рис. 9.
Координаты
пучностей стоячей волны находятся из
условия А(x)
= 2А. Это условие
сводится к условию
из которого получаем
где
и тогда
(7.9)
Координаты
узлов находятся из условия
откуда
где
Следовательно,
(7.10)
В
точки пучностей бегущие встречные волны
приходят в одинаковых фазах и тем самым
усиливают друг друга. В точки узлов
волны приходят в противофазе, и поэтому
взаимно гасятся. Из формул (7.8) и (7.9)
следует, что расстояние между соседними
пучностями, так же как и расстояние
между соседними узлами, равно
Пучности и узлы находятся друг от друга
на расстоянии
(рис. 9, а).
Рис. 9.
Рис. 9
Множитель
при переходе через нулевое значение
меняет знак. В соответствии с этим фаза
колебаний по разные стороны от узла
отличается на π,
так что точки, лежащие по разные стороны
от узла, колеблются в противофазе. Точки
же, лежащие между соседними узлами,
колеблются синфазно.
Стоячая волна не переносит энергию, так как количество энергии, переносимой падающей волной в одном направлении, равно количеству энергии, переносимой отраженной волной в противоположном направлении.
2.
Если фаза волны при отражении меняется
на противоположную, т.е.
то выражение (6.7) принимает вид
(7.11)
Теперь
устанавливаются колебания с частотой
ω и амплитудой
Вид такой волны показан на рис. 9, б.
В этом случае, как легко убедиться,
пучности и узлы стоячей волны поменяются
местами: узлы займут место пучностей,
и наоборот. Пучности будут иметь
координаты
а узлы – координаты
Изменение фазы волны на на π (или, как говорят, потеря полуволны) происходит на границе раздела сред, если волна отражается от более плотной среды. При отражении волны от среды менее плотной изменения фазы не происходит.