14. Теорія імовірності й умовна ймовірність Байеса

Теорія ймовірностей вивчає випадкові події. Дуже часто людина, сама того не зауважуючи, висловлює при­пущення або робить виведення, користуючись термінологією теорії ймовірностей. Наприклад, "Я на 80 відсотків упевнений, що все в порядку".

кількість експеріментів, ісходом яких є якась подія

загальна кількість експеріментів

Імовірність можна визначити в такий спосіб:

Припустимо, що експеримент полягає у дворазовому киданні монети. Можливі різні ісходи цих експеримен­тів.

Перший кидок Другий кидок Орел Орел

Орел Решка

Решка Орел

Решка Решка

Звідси ймовірність випадання решки обчислюється як 3/4, тобто решка випадає в другому, третьому й чет­вертому експерименті. Інший приклад: ймовірність того, що в першому кидку випаде решка, дорівнює 2/4 (третій і четвертий експеримент). Імовірність того, що решка взагалі не випаде, дорівнює 1/4 (перший експеримент). Як видно із прикладів, у рівнянні ймовірностей знаменник завжди більше або дорівнює чисельнику, тому що число всіх експериментів завжди більше або рівняється числу експериментів, результатом яких буде конкретна подія. Тому ймовірність появи якої-небудь події більше або дорівнює 0, але менше або дорівнює 1.

Байес займався розробкою теорії умовної ймовірності. Умовна ймовірність враховує вже відомі ісходи експе­риментів. Наприклад, розглянемо все той же експеримент дворазового кидання монети. Решка випадає після орла тільки в другому експерименті, і ймовірність цієї події дорівнює 1/4. Але ймовірність випадання решки в другому кидку з обліком того, що в першому вже випав орел, дорівнює 1/2. Імовірність у цьому випадку зважає на облік іншого набору

Перший кидок Другий кидок

Орел Орел

Орел Решка

З розглянутих раніше експериментів вилучені ті, у яких при першому кидку випадає решка, тому що відомо про випадання орла в першому кидку. Із двох експериментів, що залишилися, тільки в другому після випадання орла випадає решка. Отже, умовна ймовірність випадання орла в другому кидку з урахуванням випадання орла в першому рівняється 1/2.

Умовна ймовірність — це ймовірність настання якоїсь події s за умови, що вже наступила якась інша подія є. Умовна ймовірність позначається P(s|e). Ймовірність настання двох подій обчислюється в такий спосіб: Р(е і s)=P(s|e)*P(e)

Рівняння читається так: ймовірність того, що відбудуться дві події є і s, причому є відбудеться першим, дорі­внює ймовірності настання події s, якщо відомо, що відбулася подія є, помноженої на ймовірність появи події є.