14

Лабораторная работа № 3 Решение уравнений и систем уравнений средствами Mathcad

Цель работы: изучить основные средства решения уравнений и систем уравнений в среде Mathcad.

Инструменты решения уравнений и систем уравнений в среде Mathcad:

1. встроенные функции категории Решение, которые вызываются командами Добавить/Функцию (Insert/Function);

2. команды символьных преобразований из пункта меню Символика (Simbolics);

3. операторы символьных преобразований из панели инструментов Символьные (Simbolics).

1. Численное решение нелинейного уравнения

Для уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root (Рис. 1). Обращение к функции:

root( f(х1, x2, …), х1, a, b ).

Функция root возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в ноль. Аргументы функции root: f(х1, x2, …) - функция, определенная в рабочем документе, или выражение; х1 - имя переменной, относительно которой решается уравнение; a, b – интервал значений переменной, на котором ищется решение. Если a и b не указаны, то переменной х1 перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение (Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.).

Задание 1. Найти корень уравнения на отрезке [0, 2]. Решение показать на графике.

Выполнение: прежде чем решать уравнение, его следует преобразовать в функцию: перенести одну из частей уравнения в другую, поменяв его знак, и работать с «ненулевой» частью как с функцией, т. е. исходное уравнение следует записать в виде:

.

Решить уравнение тремя способами, как показано на рис. 1.

Рис.1. Численное решение нелинейного уравнения с помощью

функции root

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, найдены графическим способом.

Задание 2. Найти все корни уравнения на отрезке [-3, 3].

Выполнение: перед решением уравнения его следует преобразовать в функцию и построить ее график для нахождения начальных приближений к корням.

Решить уравнение спосбом, показанным на рис. 2.

Рис.2. Численное решение нелинейного уравнения с несколькими

корнями

Отсутствие сходимости функции root. Если Mathcad не находит решения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Чтобы установить причину ошибки, необходимо исследовать график f(x).

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, следует использовать определение вида TOL:=0.01. Для изменения значения TOL для всего документа, нужно выполнить команды Инструменты/Параметры рабочего листа/Встроенные переменые / Допустимая сходимость (TOL) (Tools/Worksheet Options/Built-In Variables/Convergence Tolerance (TOL)).

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.