7.Проективные изображения трехмерных объектов

В машинной графике термин проекция обычно ис-пользуется для обозначения отображения трехмерного объекта на плоскости, при котором информация о глубине его теряется.

При проецировании элементы изображений могут изменяться (длины отрезков, величины углов), а также вырождаться ( линия - в точку, плоская фигура - в линию). Изменение линейных размеров в общем случае характе-ризуется коэффициентами искажения U, V, W по осям x, y, z.

Обозначим составляющие некоторого отрезка l по осям х, у, z через (l_х , l_у , l_z), а проекции этих составляющих – через (l_х , l_у , l_z ). Коэффициентами искажения по осям х, у, z называют отношения:

U = l_х / l_х , V = l_y / l_y , W = l_z / l_{z .}

Для коэффициентов U, V, W у всех проекций выпол-няется следующее соотношение:

U² + V² + W² = 2 (7.1)

Декартовы системы координат, связываемые с объек-тами наблюдения, обычно вводят таким образом, чтобы их оси по направлению совпадали с рёбрами объектов, коор-динатные плоскости были параллельны граням. Каждый вид проекций соответствует некоторому положению наблю-дателя относительно объекта и, соответственно, связанной с ним системы координат. Точка, в которой располагается на-блюдатель, называется центром проецирования. Положе-ние этой точки полностью определяет характер искажений наблюдаемого трёхмерного объекта в получаемом плоском его изображении.

При проективных преобразованиях координат точек, принадлежащих наблюдаемому объекту, по их истинным величинам (x, y, z) рассчитываются видимые (x*, y*, z*),

132

которые, как правило, отличаются от иcходных. Если про-ективное преобразование является линейным, то его можно осуществить путём умножения вектора однородных коор-динат слева на некоторую матрицу М. Отметим, что у мат-риц проективных преобразований detM=0, поскольку теряется информация вдоль одной из трёхмерных осей (не обязательно совпадающей с координатной). В том случае, если проективное преобразование не линейно, применяют иные преобразования.

7.1. Аксонометрические проекции

В аксонометрических проекциях точка, из которой производится проецирование, считается бесконечно удален-ной. При этом набор коэффициентов искажения U, V, W одинаков для любых отрезков, принадлежащих объекту, вследствие чего все аксонометрические проекции являются линейными преобразованиями. В зависимости от положе-ния центра проекции относительно осей ( и , соответствен-но величин U, V, W ) можно выделить следующие виды аксонометрических проекций: ортогональные, диметричес-кие, изометрическую.

7.1.1.Ортогональные проекции

Центр проецирования ортогональных проекций на-ходится на бесконечности вдоль одной из осей. Рассмот-рим проекцию, в которой точка удалена вдоль оси z. Проекции отрезков на эту ось вырождаются в точки, следо-вательно, W=0. Проекции отрезков на оси х,у остаются неизменными, поэтому U=1, V=1. При проецировании на плоскость z=0 все координаты точек по оси z равны 0. Матрица соответствующего ортогонального проецирования примет вид:

133

При проецировании на произвольную плоскость z = p третья координата точек по оси z равна p. Матрица орто-гонального проецирования будет следующей :

При проецировании на плоскости x = n и y = m мат-рицы преобразований ортогонального проецирования име-ют аналогичный вид :

Функции на языке Autolisp, формирующие матрицы ортогональных проекций, строятся по аналогии с матри-цами элементарных линейных преобразований.

134