- •Глава 3
- •3.1.1 Основные определения
- •3.1.2 Законы алгебры логики
- •Законы нулевого множества
- •Законы универсального множества
- •Законы двойной инверсии
- •9. Законы поглощения
- •11. Законы обобщенного склеивания
- •13. Теорема разложения
- •3.1.3 Элементарные логические функции и принцип двойственности
- •3.1.4 Классификация логических устройств и
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.2.2 Представление логических функций (лф)
- •3.2.3 Понятие суперпозиции
- •Метод непосредственных преобразований
- •Метод Карно-Вейча
- •3.3.1 Метод непосредственных преобразований
- •3.3.2 Метод Карно-Вейча
- •Реализация логических функций
- •Особенности построения логических устройств
- •3.4.1 Реализация логических функций
- •3.4.2 Особенности построения логических устройств
3.1.3 Элементарные логические функции и принцип двойственности
Произвольная переключательная функция (ПФ) может быть выражена в форме функции от двоичных переменных с помощью ограниченного числа элементарных логических функций.
Булевы функции одного и двух аргументов называют элементарными.
Схему, которая осуществляет элементарную логическую операцию, называют логическим элементом (вентилем).
Совокупность взаимозависимых логических элементов с формальными методами описания называется логической схемой.
Соответственно перечню логических операций различают три основных логических элемента (ЛЭ): И, ИЛИ, НЕ. Названия и условные графические обозначения основных логических элементов, применяемых в компьютерной схемотехнике, представлены в табл. 3.8.
Значения переменных (операндов) отображаются электрическими сигналами с двумя четко выраженными уровнями значений. Число входов элементов И, ИЛИ может быть произвольным, а элемент НЕ имеет всегда только один вход.
Таблица 3.8- Условные графические обозначения основных логических элементов |
||
Название операции |
Название элемента |
Условное графическое обозначение |
Отрицание |
НЕ |
|
Дизъюнкция |
ИЛИ |
|
Конъюнкция |
И |
|
Отрицание дизъюнкции |
НЕ ИЛИ |
|
Отрицание конъюнкции |
НЕ И |
|
Отрицание эквивалентности |
Исключающее ИЛИ |
|
Эквивалентность |
Эквивалентность |
|
Импликация |
ЕСЛИ, ТО |
|
Запрет |
НЕТ |
|
При сравнении операций И, ИЛИ можно заметить, что, если в условиях, которые определяют операцию И, значения всех переменных и самой функции заменить их инверсией, а знак логического умножения – знаком логического сложения, получим постулаты, которые определяют операцию ИЛИ: если a∙ b = c, то + =
если a + b = c, то ∙ =
Э то свойство взаимного преобразования постулатов операций логического сложения и умножения носит название принципа двойственности.
Две функции алгебры логики называются двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции конъюнкции на операцию дизъюнкции и наоборот.
-
Таблица 3.9 –Важные теоремы, отражающие основные соотношения алгебры логики
1
x + 0 = x
x ∙ 1 = x
2
x + 1 = 1
x ∙ 0 = 0
3
x + x = x
x ∙ x = x
4
x + = 1
x ∙ = 0
5
= x
-
6
x + y = y + x
x ∙ y = y ∙ x
7
x + x ∙ y = x
x (x + y) = x
8
x + (y + z) = (x + y) + z
x (y ∙ z) = (x ∙ y) z
9
x + y ∙ z = (x + y) (x + z)
x (y + z) = x ∙ y + x ∙ z
10
= ∙
= +
11
(x + y) ( + y) = y
x ∙ y + ∙ y = y
Нетрудно заметить, что почти все вышеприведенные законы алгебры логики (кроме 5) обладают свойством двойственности, т.е. представлены парой соотношений, каждое из которых получается заменой операции И на ИЛИ, операции ИЛИ на И, логической 1 на логический 0 и логического 0 на логическую 1.
Например, для функции 11 F (a, b) = ab + b
двойственной является функция F’(a, b) = (a + b)( + b).
Принцип двойственности формулируется так: если функция F1 и F2 равносильны, то и двойственные им функции F’1 и F’2 также равносильны.
Необходимо отличать двойственные формы функции от инверсных функций, которые вытекают из исходных инвертированием последних. При этом не только все операции заменяются на двойственные, но и все переменные заменяются их инверсиями.
Например, для функции F (a, b) = ab + b
инверсной будет функция F (a, b) = ab + b = = ( + )(а + ).
В ажным практическим следствием принципа двойственности есть тот факт, что при записи логических выражений и, значит, построении логических схем, можно обойтись только двумя типами операций: И и НЕ или ИЛИ и НЕ.
Совокупность логических элементов (ЛЭ) которая позволяет реализовать логическую схему любой сложности, называется функционально полной системой.
Функционально полными системами являются системы:
-И и НЕ,
-ИЛИ и НЕ,
-И, ИЛИ, НЕ
На практике широкое применение нашли ЛЭ, которые совмещают функции элементов указанных выше функционально полных систем. Это элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ (рис. 3.1).
Рисунок 3.1 – Условные графические обозначения двухвходовых ЛЭ И-НЕ и ИЛИ - НЕ
Если рассмотреть выполнение операций И, ИЛИ и НЕ на элементах ИЛИ-НЕ то в соответствии с принципом двойственности, если a ∙ b = c, то + = . Инвертируя правую и левую часть первого выражения, получим + = = , т.е. логическая операция И может быть заменена операциями ИЛИ и НЕ.
На рис. 3.2 приведены примеры реализации основных логических операций с использованием только элементов ИЛИ-НЕ.
Н а рис. 3.3 приведены примеры реализации основных логических операций с использованием только элементов И-НЕ.
Р исунок 3.2 – Реализация логических операций И, ИЛИ, НЕ на базе элементов ИЛИ-НЕ
Рисунок 3.3 – Реализация логических операций И, ИЛИ, НЕ на базе элементов И-НЕ