2.1.1 Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления, которые появились значительно раньше позиционных, символы, обозначающие то или иное число, не ме­няют своего значения в зависимости от местоположения в изображении этого числа.

Унарная — это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак — | (вертикальная черта, палочка). Следующее число полу­чается из предыдущего добавлением новой палочки: их количество (сумма) равно самому числу. Унарная система важна в теоретическом отношении, поскольку в ней число представляется наиболее простым способом и, следо­вательно, просты операции с ним. Кроме того, именно унарная система опре­деляет значение целого числа количеством содержащихся в нем единиц, ко­торое, как было сказано, не зависит от формы представления.

1. = I

2. = I I ;

5 = I I I I I;

10 = I I I I I I I I I I.

Такая система счисления является непозиционной, так как цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Римская. Примером непозиционной системы счисления является рим­ская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфа­вита. При этом буква I всегда означает единицу, буква V — пять, X — де­сять, L — пятьдесят, С — сто, D — пятьсот, М - тысячу и т. д.

Например, число 110 записывается как СХ, 267 -в виде CCLXVII, 555 соответствует DLV, 59 как LIX, 2009 как ММIX, а 1988 -MCMLXXXVIII

Недостатком непозиционных систем является отсутствие нуля и формальных правил записи чисел и соответственно арифметических действий над ними.

2.1.2 Позиционные системы счисления

В вычислительной технике применяются позиционные системы счисле­ния. Позиционной система счисления называется потому, что значение каждой входящей в число цифры зависит от её положения в записи числа.

С истема называется позиционной, если значение каждой цифры (её вес) изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

В каждой позиционной СС используется определенный набор символов (цифр), последовательная запись которых изображает число.

О снование системы счисления (Р) определяет количество символов в наборе.

В десятичной системе счисления основание системы равно 10 (Р=10), в двоичной -2 (Р=2).

Пози­ция символа в изображении числа называется разрядом. Разряду с номе­ром 0 соответствует младший разряд целой части числа.

Каждому симво­лу соответствует определенное число, которое меньше основания систе­мы счисления. В зависимости от позиции (разряда) числа значение сим­вола умножается на степень основания, показатель которой равен но­меру разряда.

• Представление целого положительного числа

Целое положительное число А в позиционной СС мож­но представить выражением

А = +/- a_n pⁿ + a_n-1 p^n-1 + a_n-2 p^n-2 + … + a₁ p¹ + a₀ p⁰ 2.1 (1.1)

где p - основание системы, целое положительное число;

где p - основание системы, целое положительное число;

n - номер старшего разряда числа;

а - символ (цифра).

Обозначения цифр берут из алфавита, который содержит р символов. Каждой цифре соответствует определенный количественный эквивалент.

Запись А_(p) указывает, что число А представлено в СС с основанием р.

Например, 243₁₀ указывает, что число принадлежит десятичной системе счисления, а 243₈ –восьмеричной СС, 101₅ –пятеричной СС, 101₂ –двоичной СС.

Позиционные СС с общим основанием для всех разрядов числа назы­вают однородными.

• Представление смешанного числа

Смешанное число в общем виде представляет собой сумму степеней основания с соответствующими ко­эффициентами:

А = +/- a_n pⁿ + a_n-1 p^n-1 + a_n-2 p^n-2 + … + a₁ p¹ + a₀ p⁰ + a_-1 p^-1 + a_-2 p^-2 + … + a_-m p^-m 2.2 1.2 (1.1)

где p - основание системы, целое положительное число;

где – m может стремиться к - .

• Представление правильной дроби

Показатели степеней основания дробной части числа изображаются от­рицательными числами от -1 до - . Правильную дробь можно представить в общем виде следующим многочленом:

А = +/- 0, a_-1 p^-1 + a_-2 p^-2 + … + a_-m p^-m 2.3

где – m может стремиться к - .