4. Преобразования чисел, удобных для уст­ных расчетов

Рассмотрим алгоритм преобразования чисел, который удобен для уст­ных расчетов и достаточно эффективен при наличии таблиц степеней основания системы, в которую осуществляется перевод. Цифры искомо­го числа определяются, начиная со старших разрядов, что снижает веро­ятность появления ошибки при переводе.

Рассмотрим примеры перевода чисел с использованием вышеописан­ного алгоритма.

Примеры.

1. Перевести число 65₍₁₀₎ в двоичную СС: 65₍₁₀₎ = 64 +1 = 2⁶ + 2⁰=1000001₍₂₎.

Напомним, что 2⁶ = 64, а 2⁰ = 1 (см. табл.1.3)

2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰ разряды переводимого числа

0

1

0

0

0

0

0

1

128 64 32 16 8 4 2 1 степени числа 2

1. + 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 65 результат перевода

5. Переводы чисел из одной системы в другую

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки (2³ –восьмеричная, 2⁴ –шестнадцатеричная), достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм.

• Перевод двоичного числа в восьмеричное. Алгоритм перевода прост. Двоичное число разбивается на триады (2³), каждая триада соответствует восьмеричному числу.

Пример:

А1 = 110011, 100010₂ = 110 011, 100 010₂ = 63,42₈

6 3 4 2

А2 =1111010101,11₂ = 001 111 010 101, 110 = 1725,6₈

• Перевод двоичного числа в шестнадцатеричное. Алгоритм перевода прост. Двоичное число разбивается на тетрады (2⁴), каждая тетрада соответствует шестнадцатеричному числу.

Пример:

А1 = 110011, 100010₂ = 0011 0011, 1000 1000₂ = 33,88₁₆

3 3 8 8

А2 = 1111010101,11 = 0011 1101 0101, 1100 = 3D5,C₁₆

• Перевод восьмеричного числа в двоичное. Алгоритм перевода прост. Каждую цифру восьмеричного числа записываем в двоичном коде триадами.

Пример:

А = 305,42₈ = 011 000 101,100 010₂

3 0 5 4 2

• Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное. Алгоритм перевода прост. Каждую цифру шестнадцатеричного числа записываем в двоичном коде тетрадами.

Пример:

А = 7АВ,EF₁₆ =0111 1010 1011,1110 1111₂

7 А В Е F

2.3.6 Перевод правильных дробей.

Перевод в десятичную СС

Перевод в десятичную СС можно выпол­нить с помощью описанного ранее алгоритма замещения (2.3).

Примеры.

1. Перевести в десятичную СС число 0,1101₍₂₎:

2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 разряды переводимого числа

0

1

1

0

1

0,5 0,25 0,125 0,0625 отрицательные степени числа 2

0,1101₍₂₎ = + + 0 + = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125₍₁₀₎

2. Перевести в десятичную СС число 0,71₍₁₆₎ :

16^-1 16^-2 16^-3 16^-4 разряды переводимого числа

0

7

1

0

0

0,71₍₁₆₎ = + = 0.4375 + 0.0039062 = 0.4414062₍₁₀₎ ≈0.44₍₁₀₎

Шестнадцатеричные дроби представляются в виде выражения: А = + + … +

0,6А7₁₆ = + + = 0.375 + 0.039… + 0.002… = 0.416₍₁₀₎ (с точностью до 3 знаков)

• Перевод десятичных дробей в другие СС

Рассмотрим способы перевода десятичных дробей в другую СС. Пусть в десятичной системе счисления задана дробь А и ее нужно переве­сти в СС с основанием р.

Алгоритм перевода десятичных дробей в другую систему счисления можно описать в виде следующей последовательности шагов:

1. умножить исходную дробь на основание р в исходной удобной си­стеме счисления, причем перемножению подвергается только дробная часть;

2. выделить из полученного результата целую часть, и принять ее за цифру очередного разряда искомой дроби;

3. если достигнута необходимая точность, то дальнейшие действия прекратить. В противном случае из последнего результата умножения вы­делить дробную часть, принять ее за исходное число и перейти к шагу 1.

Искомая дробь в новой системе запишется в виде последовательности целых частей полученных произведений, начиная с первого.

Рассмотрим примеры перевода дробей из одной СС в другую с помо­щью вышеописанного алгоритма, а полученный алгоритм в исходную СС с помощью алгоритма замещения.

Примеры

1. Перевести в двоичную СС дробь 0,3125₍₁₀₎ и провести проверку результата:

а) 0,3125

х 2

0 6250

х 2

1 2500

х 2

0 5000

х 2

1 0000 Итак, 0,3125₍₁₀₎ =0,0101₍₂₎ с точностью 2^-4

б) Перевести в десятичную СС двоичную дробь 0,0101₍₂₎:

0,0101 ₍₂₎ = 0 • 2^-1 + 1 • 2^-2 +0 • 2^-3 + 1 • 2^-4 = ( + = ) = 0,3125₍₁₀₎.

Число последовательных произведений определяют требуемую точность.

В данном примере число произведений 4 поэтому точность 2^-4.

2. Перевести в двоичную СС дробь 0,12₍₁₀₎

а) 0, 12 Алгоритм тот же, умножение дробной части на основание

0 24 двоичной системы (р =2). 12х2 =24, 24х2=48 и т.д.

0 48

0 96

1 92

1 84

1 68

1. 36 Итак, 0,12₍₁₀₎ = 0,0001111…₍₂₎ с точностью 2^-7

В данном примере число произведений 7 поэтому точность 2^-7, при необходимости точность можно повысить, увеличив число последовательных произведений.

б) Перевести в десятичную СС дробь 0,0001111…₍₂₎

0,0001111₍₂₎ = 0 • 2^-1 +0 •2^-2 +0 •2^-3 + 1•2^-4 + 1 • 2^-5 + 1 • 2^-6 + 1 • 2^-7 =

= + + + = 0.1172₍₁₀₎ ~ 0,12

В вычислениях двоичных дробей может пригодиться табл. 2.3.