Пример 5.23

Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1. Функция определена в интервале .

2. Точек разрыва нет и вертикальных асимптот нет.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осью :

Таким образом, точка пересечения графика функции с осью есть точка (1;0).

Точек пересечения с осью нет.

4. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

5. Находим точки экстремумов, интервалы монотонности. Для этого вычислим первую производную и решим уравнение .

;

.

Исследование знаков первой производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

х
	+	0	
		max

6. Найдём точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости графика функции. Для этого вычислим вторую производную и решим уравнение .

.

Исследование знаков второй производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

х
		0	+
		перегиб

6. Асимптоты

а) наклонная

.

Значит, наклонных асимптот нет.

б) горизонтальная

.

Таким образом, - горизонтальная асимптота

8. По данным исследования построим график функции .

Рисунок 14

Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Задание 5.22.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.