§3. Гравитационное поле вертикального стержня

Некоторые небольшие по диаметру и уходящие на большую глубину интрузии могут быть аппроксимированы вертикальным стержнем или цилиндром (рис.28).

Массу стержня можно представить в виде суммы элементарных масс, распределенных по всей длине стержня. Полагая , где  – линейная плотность стержня, получим:

. (V.15)

Потенциал стержня можно представить в виде потенциала точечной массы:

.

Найдем вертикальную составляющую силы тяжести g элементар­ной массы стер­жня dm.

. (V.16)

Для нахождения поля силы тяжести, созданного всей массой стержня, полученное выражение (V.16) проинтегрируем в пределах от h₁ до h₂:

(V.17)

Для стержня бесконечной длины (h₂  ):

. (V.18)

Дифференцируя (V.18) по x, найдем V_xz:

. (V.19)

При x = 0

. (V.20)

Графики g и V_zx показаны на рис. 28. Сравнивая их с аналогичными графиками для шара, нетрудно убедиться в сходстве полей g и V_zx для шара и вертикального стержня. В плане поле стержня также имеет вид концентрических окружностей более или менее правильной формы, сходящихся над вертикальной осью стержня (рис. 28).

Рис. 29. К расчету поля силы тяжести горизонтальной полуплоскости

§4. Гравитационное поле горизонтальной полуплоскости

Вертикальный уступ в реальных геологических условиях соответствует вертикально­му сбросу, выклиниванию горизонтальных пластов различной плотности, границе крупного интрузивного образования на контакте с осадочными породами и т.п. (рис. 29). Предположим, что пласт пород с плотностью  > ₀ простирается бесконечно вправо от нуля и по оси z – в глубину. Профиль x расположен вкрест простирания уступа. Притяжение такого уступа определяется по формуле:

(V.21)

. (V.22)

При x = 0 получаем значения g в точке перегиба:

. (V.23)

Ход кривых g и V_zx показан на рис. 29. В плане аномальное поле g имеет резко выраженный градиентный характер в зоне ступени и более спокойный по обе стороны от нее (рис. 29).

В случае ступени ограниченного пространства (рис. 29) формула для g и V_zx над уступом имеет следующий вид:

(V.24)

При x = 0 и x = +

; ; (V.25)

Рис. 30. К расчету поля силы тяжести плоского слоя

. (V.26)

.

§ 5. Гравитационное поле плоского слоя

Рассмотрим очень важную задачу притяжения, создаваемого плоским слоем в точке А, расположенной на некоторой высоте z над ним (рис. 30). Пусть плотность слоя  = const. Вырежем в нем диск радиусом r и толщиной z. Найдем потенциал элемента массы dm этого диска V_А и притяжения g, которое он создает в точке А:

; ;

, (V.27)

где , т.е.

. (V.28)

Для определения притяжения всей массой диска нужно полученное выражение для элемента массы dm (V.28) проинтегрировать по всему объему диска:

. (V.29)

Возьмем интегралы по отдельности:

;

;

.

Отсюда g_слоя будет равно:

. (V.30)

Представим

. (V.31)

Подставим (V.31) в (V.30):

(V.32)

Проанализируем полученное выражение.

1) Если слой имеет бесконечно большие размеры в сравнении с расстоянием z до точки А, то , тогда

, (V.33)

где – толщина слоя.

2) Если точка А лежит на слое, т.е. z₁ = 0, z₂ = H, тогда

,

или

. (V.34)

Это уже известная нам редукция Буге. Следовательно, притяжение плоского слоя не зависит от высоты наблюдения z, а зависит от толщины слоя H.