Лабораторна робота №4 Метод простих ітерацій
Для того, щоб розв’язати рівняння /1/ методом простих ітерацій його спочатку треба привести до виду:
x = (x) /4/
При цьому повинна виконуватися умова збіжності:
(x) q 1
для x з проміжку [A,B].
На відрізку [A,B] обирають початкове наближення x0 (доцільно обирати в середині відрізка [A,B]) та знаходять наступні наближення до кореня за формулою:
xk = (xk-1).
Ітерації xk обчислюються доки
xk - xk-1 (1-q)/q
До початку ітераційного процесу задамо точність , з якою необхідно отримати корені рівняння /1/, та q- максимальне значення першої похідної.
Схема методу:
1). надамо значення x0 = (A+B)/2, це і буде першим наближенням до кореня;
2). приводимо рівняння типу /1/ до рівняння типу /4/, отримуємо нову функцію (x).
3). Знаходимо к-те (к = 1, 2, 3, …) наближення до кореня за формулою xk = (xk-1).
4). перевіряємо умову xk - xk-1 q(1-q)>. Якщо умова виконується, тоді шукаємо наступне наближення ( Повертаємося до пункту 3).), а інакше xk вважаємо коренем рівняння.
Блок-схема методу представлена на мал.4
Мал. 4
Індивідуальні завдання
Обчислити приблизне значення коренів алгебраїчного або трансцендентного рівняння для варіанту даних, наведених в табл. 1.
В цій таблиці номер варіанта знаходиться в першій колонці. В другій і третій колонках відповідно – рівняння та відрізок. В четвертій колонці вказано число М – максимальне значення похідної функції на відрізку.
Таблиця 1
№варіанту |
Рівняння |
Відрізок, |
Число М |
1 |
2 |
3 |
5 |
1 |
2x4 - 8x3 + 8x2 - 1 |
1, 2 |
4 |
2 |
x4 - 4x3 + 8x2 + 1 |
0, 1 |
3 |
3 |
(x – 1)2 lg(x+11) -1 = 0 |
-10, 9 |
140 |
4 |
(x – 4)2 lg(x-3) -1 = 0 |
4, 6 |
9 |
5 |
arctg(x) – x3/3 |
0.5, 1 |
20 |
6 |
(log2(-x))(x+2) = -1 |
-1, -0.5 |
6 |
7 |
2x3 - 9x2 - 60x + 1 = 0 |
0, 1 |
90 |
8 |
3sin(√x) + 0.35x – 3.8 = 0 |
2, 3 |
0,6 |
9 |
x – 1/3 + sin(3.6x) = 0 |
0, 0.85 |
1,7 |
10 |
tg(x) – tg3(x)/3 + tg5(x)/5 = 1/3 |
0, 0.8 |
22 |
11 |
arcos(x) - √(1-0.3x3) = 0 |
0, 1 |
5 |
12 |
ex + ln(x) - 10x = 0 |
3, 4 |
6,5 |
13 |
cos(x) - e-x +x – 1 = 0 |
1, 2 |
1 |
14 |
1 – x + sin(x) – ln(1+x) = 0 |
0, 1.5 |
1,6 |
15 |
3x4 + 8x3 +6x2 - 10= 0 |
0, 1 |
55 |
16 |
xlog3(x+1) – 1 = 0 |
1, 2 |
2 |
17 |
arctg(x-1) + 2x = 0 |
0, 1 |
4 |
18 |
√(1-x) – tg(x) = 0 |
0, 1 |
7,5 |
19 |
3 ln2(x) + 6 ln(x) – 5 = 0 |
1, 3 |
7,2 |
20 |
sin(x2) + cos (x2) – 10x = 0 |
0, 1 |
12,5 |
21 |
2x sin(x) – cos (x) = 0 |
0.4, 1 |
4,3 |
22 |
cos2 (x) – 5x = 0 |
0, 1 |
8 |
23 |
3 cos (x) – 4 = 0 |
0, 1 |
15 |
24 |
√(1-x) - 2 sin(x) = 0 |
0, 2 |
10 |
25 |
x4 - 3x3 - 6x2 + 2= 0 |
0, 1 |
5 |
26 |
x5 - x - 0.2 = 0 |
1, 1.3 |
0.18 |
27 |
x2 - cos (x) = 0 |
0.5, 1 |
0.6 |
28 |
x - sin (x) = 0 |
0, 1 |
0.99 |
29 |
x10 - x3 - √x = 0 |
1, 5 |
0.2 |
30 |
x10 - x3 - 56 = 0 |
1, 2 |
0.4 |