1.3.1. Свойства преобразования Фурье
1. Свойство линейности
Если
),
где а,
в, с – вещественные числа.
Тогда
,
где (1.3.7)
где S1(jω), S2(jω), S3(jω) – спектральные плотности сигналов s1(t), s2(t), s3(t) соответственно, а S(jω) спектральная плотность сигнала s(t).
Свойство четности. s(t) – четная функция, т. е. s(t) = s(-t)
(1.3.8)
Второй интеграл равен нулю, так как подинтегральная функция нечетная.
Таким
образом
, а так как подинтегральная функция
четная, то
. (1.3.9)
3.Свойство нечетности.
s(t) – нечетная функция, т. е. s(t) = - s(-t)
Первый интеграл равен нулю, так как подинтегральная функция нечетная. Отсюда
,
а так как подинтегральная функция
четная, то
(1.3.10)
4. Свойство задержки.
Дан сигнал s(t), спектральная плотность которого S(jω). Найти спектральную плотность сигнала s1(t) = s(t - to). Сигнал s1(t) отличается от сигнала s(t) сдвигом на интервал τ вправо по оси времени, т.е. задержкой на время to.
Спектральная плотность сигнала s(t) будет иметь вид:
.
(1.3.11)
а спектральная плотность сигнала s1(t)=s(t – to) вид:
. (1.3.12)
В последнем выражении сделаем замену переменных t – to = τ.
Тогда t = τ + to, а dt = dτ и интеграл (1.3.10) примет вид:
. (1.3.13)
Так как exp(-jωtо) не зависит от τ, то этот сомножитель можно вынести за пределы интеграла.
Тогда
получим
(1.3.14)
В последнем выражении интеграл в скобках полностью совпадает с выражением (1.3.11), т. е.
. (1.3.15)
Таким образом сдвиг во временной области на время t0 вправо по оси времени приводит к умножению на exp(-jωtо) в частотной области.
5. Свойство дифференцирования.
Дан сигнал s(t), спектральная плотность которого S(jω). Найти спектральную плотность сигнала s1(t) = ds(t)/dt.
Пусть спектральные плотности сигналов s(t) и s1(t) будут S(jω) и S1(jω) соответственно.
Тогда
(1.3.16)
а
(1.3.17)
Найдем
(1.3.18)
Меняя порядок дифференцирования и интегрирования и, продифференцировав по t, получим
(1.3.19)
Сравнивая (1.3.17) и (1.3.19), получаем
(1.3.20)
т .е. дифференцирование во временной области приводит к умножению на jω в частотной области.
6. Свойство интегрирования.
Дан сигнал s(t), спектральная плотность которого S(jω). Найти спектральную плотность сигнала s1(t) = ∫s(t)dt.
Пусть спектральные плотности сигналов s(t) и s1(t) будут S(jω) и S(jω) соответственно. Тогда
(1.3.21)
Найдем 
(1.3.22)
Изменяя порядок интегрирования
и, интегрируя по t,
получим
(1.3.23)
Сравнивая (1.3.23) и (1.3.21), получаем
(1.3.24)
т .е. интегрирование во временной области приводит к делению на jω в частотной области.
7. Спектральная плотность сигнала при изменении масштаба времени
Пусть для сигнала s(t), спектральная плотность которого S(jω), изменяется масштаб времени. Введем новое время τ = kt, где k – некоторое вещественное число. Тогда спектральная плотность S1(jω) сигнала s(kt) будет иметь вид:
(1.3.25)
или ∞
и
окончательно
-∞
(1.3.26)