2. Вычисление определенного интеграла

Пусть требуется вычислить значение

с заданной точностью . График функции f(x) представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Вычисление интеграла

6.2.1 Метод средних прямоугольников

Для вычисления значения интеграла разбиваем отрезок интегрирования на n равных частей (в первом приближении принимаем n = 4) и определим значения f (x_i), где x_i = a + hi + h/2; h = (b – a)/n (рисунок 2).

Рисунок 2 – Метод средних прямоугольников

Вычислим площадь s_i каждого из полученных прямоугольников: s_i = hf (x_i). Сумма I₁ площадей этих прямоугольников и является приближенным значением интеграла:

.

Однако одно приближение не позволяет оценить точность, с которой вычислено значение интеграла, поэтому необходимо найти второе приближение. Для этого увеличим число отрезков разбиения n в 2 раза, т. е. n = 2n. Аналогично I₁ находим

.

Для вычисления интеграла с заданной точностью  проверим условие |I₂ - I₁|  . Если условие выполняется, то I₂ принимается за искомое значение интеграла. Если условие не выполняется, то последнее значение интеграла I₂ принимается за предыдущее, т. е. I₁ = I₂. После этого удвоим число точек деления отрезка и вычислим новое значение I₂. Процесс удвоения n и вычисление I₂ будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие |I₂ - I₁|  .

6.2.1 Метод трапеций

Для вычисления значения интеграла разбиваем отрезок интегрирования на n равных частей (в первом приближении принимаем n = 4) и определим значения f (x_i) (i = 0, 1, …, n), где x_i = a + hi; h = (b – a)/n (рисунок 3).

Рисунок 3 – Метод трапеций

Вычислим площадь s_i каждой из полученных трапеций: s_i = h(f (x_i-1) + f (x_i))/2 . Сумма I₁ площадей этих трапеций и является

Однако одно приближение не позволяет оценить точность, с которой вычислено значение интеграла, поэтому необходимо найти второе приближение. Для этого увеличим число отрезков разбиения n в 2 раза, т. е. n = 2n. Аналогично I₁ находим

.

Для вычисления интеграла с заданной точностью  проверим условие |I₂ - I₁|  . Если условие выполняется, то I₂ принимается за искомое значение интеграла. Если условие не выполняется, то последнее значение интеграла I₂ принимается за предыдущее, т. е. I₁ = I₂. После этого удвоим число точек деления отрезка и вычислим новое значение I₂. Процесс удвоения n и вычисление I₂ будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие |I₂ - I₁|  .

7. Методические указания

Вычисление интеграла оформить в виде функции, где в качестве одного из параметров использовать указатель на функцию f (x).

8. Варианты заданий

1. Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

2. Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

3. Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

4) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

5) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

6) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

7) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

8) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

9) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

10) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

11) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

12) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

13)* Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

; ; .

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.

14)* Вычислить площадь фигуры между дугами двух кривых

и .

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-5.

15)* Вычислить площадь фигуры между дугами двух кривых

и .

Интегралы вычислять с точностью  = 10^-4.