5.4. Примеры решения типовых задач

Пример 5.1. Дана прямая и точка . Составить уравнение прямой, походящей через данную точку параллельно заданной прямой.

Решение. Нормальный вектор прямой , он же будет нормальным вектором искомой прямой.

Чтобы «свободная точка» принадлежала искомой прямой, вектор должен быть перпендикулярен вектору . Условие перпендикулярности векторов

есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение запишем найденное уравнение в общем виде

.

Пример 5.2. Дана прямая и точка . Составить уравнение прямой, походящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

Решение. Нормальный вектор прямой будет направляющим вектором для искомой прямой.

Чтобы «свободная точка» принадлежала искомой прямой, вектор должен быть параллелен вектору . Условие параллельности векторов

(5.35)

есть искомое уравнение в каноническом виде. Умножив (5.35) на произведение и введя обозначение запишем искомое уравнение в общем виде

. (5.36)

Условия или означают, что соответствующие числители обращаются в нуль.

Заметим, что в случае перпендикулярности прямых коэффициенты при переменных и меняются местами, а у одного из них меняется знак.

Пример 5.3. Заданы уравнение пучка прямых

, (5.37)

и прямая

.

Составить уравнение прямой, принадлежащей пучку, параллельной прямой .

Решение. Преобразуем уравнение (5.37)

,

Нормальный вектор параллелен вектору . Условие параллельности векторов

содержит единственную неизвестную величину . Определив  и подставив его в уравнение (5.37), получим искомое уравнение.

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 213, 223, 234, 236, 248, 261, 271, 292, 310, 312, 313, 315, 323, 334, 337, 349, 354.

Вопросы для повторения

1. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Векторное истолкование уравнения прямой. Нормальный вектор прямой. Уравнения прямых частного положения. Уравнение прямой «в отрезках». Геометрическая интерпретация. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов.

2. Направляющий вектор прямой. Каноническое и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов.

3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

4. Нормальное уравнение прямой. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой. Основные задачи для нормального уравнения прямой.

5. Определение пучка прямых. Уравнение пучка прямых. Основные задачи для уравнения пучка.

6. Плоскость в трехмерном пространстве

6.1. Общее уравнение плоскости

Теорема 6.1. Если в пространстве выбрана некоторая прямоугольная система координат, то уравнение первой степени относительно переменных

(6.1)

определяет в этой системе координат некоторую плоскость (при условии, что коэффициенты А, В, С не обращаются в нуль одновременно).

Найдется точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1):

. (6.2)

Вычитая уравнение (6.2) из (6.1), получим уравнение, эквивалентное исходному уравнению.

. (6.3)

Это уравнение есть условие ортогональности нормального вектора и вектора

,

начало которого в фиксированной точке , а конец в свободной точке М с произвольными координатами и (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Вектор может изменять длину и вращаться вокруг вектора , оставаясь перпендикулярным к нему. Свободная точка , являющаяся концом вектора, будет при этом перемещаться по плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Следовательно, уравнение (6.3) есть уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через фиксированную точку . Теорема доказана.

Уравнение (6.1), эквивалентное уравнению (6.3), называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим неполные уравнения плоскости при условии :

1) . Уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2) . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как её нормальный вектор перпендикулярен оси .

3) . Уравнение определяет плоскость, перпендикулярную оси , так как её нормальный вектор параллелен оси .

Остальные неполные уравнения плоскости рассматриваются аналогично.

Уравнение плоскости «в отрезках» легко получить из уравнения (6.1), если перенести свободный член направо от знака равенства, разделить на него левую часть уравнения и сделать очевидные алгебраические преобразования:

. (6.4)

Введем обозначения , уравнение (6.4) примет вид

. (6.5)

Рис. 6.2

Здесь числа и равны координатам точек пересечения плоскости с осями координат (рис. 6.2).

Уравнение (6.5) имеет смысл при условиях и .

Убедиться в этом можно, решив систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости (6.5) и уравнений осей координат, например оси :

. (6.6)

Доказательства для точек b и с проводятся аналогично.

Угол между плоскостями и условия параллельности и перпендикулярности плоскостей очевидным образом связаны с соответствующими условиями для их нормальных векторов

Пусть заданы уравнения двух плоскостей

(6.7)

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. В данном случае это вектора

и .

Косинус угла между векторами можно найти исходя из определения скалярного произведения

. (6.8)

Условие ортогональности плоскостей следует из условия ортогональности их нормальных векторов, то есть равенства нулю их скалярного произведения:

. (6.9)

Условия параллельности плоскостей следуют из условия коллинеарности их нормальных векторов:

. (6.10)

Пример 6.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Решение. Пусть заданы точки , не принадлежащие одной прямой. Тогда вектора , не будут коллинеарными. Пусть точка «свободная точка» с произвольными координатами , а вектор

– «свободный» вектор. Чтобы точка М (х, у, z) принадлежала плоскости, определяемой векторами и необходимо и достаточно, чтобы все три вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю:

. (6.11)

Уравнение (6.11) есть уравнение искомой плоскости.