5. Прямая линия на плоскости
5.1. Общее уравнение прямой
Определение 5.1. Уравнение
(5.1)
называется уравнением линии на плоскости относительно заданной системы координат, если ему удовлетворяют координаты точек, принадлежащих некоторой линии L, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.
Определение 5.2. Линия называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной системе координат F(x,y) есть полином некоторой степени.
Алгебраическая линия называется линией n-го порядка если F(x,y) − полином степени n.
Теорема 5.1. Если линия в некоторой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени п, то и в другой прямоугольной системе координат степень уравнения будет равна п.
Без доказательства.
В трехмерном пространстве определения 5.1 и 5.2 и утверждение теоремы 5.1 можно повторить, заменив слово «линия» словом «поверхность».
Теорема 5.2. Если на плоскости фиксирована прямоугольная система координат Оху, то любая прямая L, принадлежащая плоскости, определяется в этой системе координат уравнением первой степени.
Доказательство. При специальном выборе системы координат, если ось Ох совпадает с прямой, уравнение прямой у = 0 совпадает с уравнением оси Ох. В соответствии с утверждением теоремы 5.1 в любой другой прямоугольной системе координат степень уравнения сохранится.
Пусть уравнение прямой имеет вид:
, 
. (5.1)
Пусть задана точка М0(х0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению
.
(5.2)
Вычитая (5.2) из (5.1), получаем
.
(5.3)
Рис. 5.1
Пусть А
и В −
координаты некоторого вектора
,
а (х – х0)
и (у – у0)
− компоненты вектора
,
начало которого совпадает с точкой
,
а конец совпадает с произвольной точкой
,
принадлежащей прямой (рис. 5.1).
Очевидно, что скалярное произведение
является условием
ортогональности векторов
и
.
Вектор
называется нормальным
вектором прямой.
Уравнение (5.3) есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Уравнение (5.3) эквивалентно уравнению (5.1), которое называется общим уравнением прямой.
При условии рассмотрим неполные уравнения прямой.
1)
.
Уравнение
определяет прямую, проходящую через
начало координат.
2)
.
Уравнение
определяет уравнение прямой, параллельной
оси
.
3)
.
Уравнение
определяет уравнение прямой, параллельной
оси
.
4) А
= 0, С
= 0. Уравнение
определяет
уравнение оси Ох.
5)
В
= 0, С
= 0. Уравнение
определяет уравнение оси Оу.
Из уравнения (5.1) можно получить уравнение прямой в отрезках:
. (5.4)
В самом деле, уравнение
(5.5)
получено из
уравнения (5.1) с помощью элементарных
алгебраических преобразований. Обозначив
,
получим уравнение (5.4).
Чтобы найти координаты точки пересечения прямой с осью , решим систему уравнений, состоящую из уравнения (5.4) и уравнения оси .
. (5.6)
Аналогично можно
получить, что
координата точки пересечения с осью
.
Определение 5.3. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором прямой.
Пример 5.1. Составить
уравнение прямой L,
проходящей
через точку
параллельно
вектору
.
Рис. 5.2
,
начало которого совпадает с точкой
,
а конец − в произвольной точке
(рис. 5.2).
Чтобы точка
лежала на прямой
,
вектор
должен быть параллелен вектору
.
Условие параллельности векторов состоит
в пропорциональности сходственных
координат, из чего следует
.
(5.7)
(Нуль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в нуль.)
Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.
Приравняв выражение
(5.7) параметру
,
получим параметрические
уравнения прямой:
(5.8)
Если принять что,
t
− время, а
вектор скорости, то уравнения (5.8)
определяют две проекции уравнения
движения точки на координатные оси.
Уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки
и
,
получим из уравнения (5.7), приняв, что
направляющий вектор
, (5.9)
и подставив выражение (5.9) в (5.7):
. (5.10)
Рис. 5.2
получим, приняв, что угловой коэффициент
равен тангенсу угла наклона направляющего
вектора
(рис. 5.3):
.
(5.11)
Умножив выражение
(5.7) на число
и подставив в него (5.11), получим:
.
(5.12)
Если принять
обозначение
,
уравнение примет вид
. (5.13)
Здесь
координата точки пересечения прямой L
с осью Oy,
в чем легко убедиться, подставив в (5.13)
уравнение оси Oy
− x
= 0.
Косинус угла между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между векторами: нормальным − , и направляющим − .
,
(5.14)
.
(5.15)
Условия перпендикулярности двух прямых:
. (5.16)
Условия параллельности прямых:
,
или
(5.17)
(ноль в знаменателях этих пропорций означает, что соответствующие числители тоже обращаются в ноль).
В случае двух прямых с угловым коэффициентом
(5.18)
Условие параллельности
,
(5.19)
условие перпендикулярности
.
(5.20)
Чтобы получить
нормальное
уравнение прямой
из начала координат опустим перпендикуляр
на прямую L
(рис. 5.4). Пусть Р
− точка пересечения перпендикуляра с
прямой L,
длина отрезка
,
орт нормали
.
Чтобы точка
лежала на прямой, необходимо и достаточно,
чтобы проекция вектора
на нормаль равнялась р:
.
(5.21)
Уравнение
(5.22)
есть нормальное уравнение прямой.
Рис. 5.2
,
если точка и начало координат лежат по
разные стороны от прямой, и
,
если точка и начало координат лежат по
одну сторону от прямой. 
(5.23)
Здесь
. (5.24)
Очевидно, что общее
уравнение прямой
и нормальное уравнение прямой
определяют одну и ту же прямую.
Следовательно, существует такое число
,
что
,
.
(5.25)
.
(5.26)
Из третьего равенства выражения (5.25) следует, что знак противоположен знаку С. Число называется нормирующим множителем.
Для получения нормального уравнения прямой достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .
Определение 5.3. Множество прямых, принадлежащих плоскости , пересекающихся в точке S0, называется пучком прямых.
Теорема 5.3. Уравнение
(5.27)
есть уравнение пучка прямых, пересекающихся в точке S, если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения
и
(5.28)
суть уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S0. Любая прямая, проходящая через точку S0, определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и .
Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:
.
(5.29)
Это уравнение прямой, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное: пусть обе первые скобки равны нулю. Тогда
из
следует
,
из 
следует 
.
В итоге
. (5.30)
Это условие параллельности прямых (5.28) противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (5.27) всегда определяет некоторую прямую.
Эта прямая проходит
через точку
,
так как подстановка её координат обращает
в нуль каждое из уравнений (5.28), а
следовательно, и уравнение (5.27).
.
(5.31)
Покажем, что любая прямая, принадлежащая пучку определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку , отличную от точки . Эти две точки определяют прямую, принадлежащую пучку, единственным образом.
Подставив координаты точки в уравнение (5.27), получим уравнение относительно неизвестных и :
.
(5.32)
В этом уравнении
круглые скобки не могут обратиться в
нуль одновременно, так как точка
не может принадлежать двум различным
прямым, так как не совпадает с точкой
(5.28).
Пусть
,
Тогда
.
(5.33)
Из (5.33) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя.
Можно представить
уравнение пучка прямых в другом виде,
разделив (5.27) на
и положив
:
. (5.34)
Уравнение (5.34) не
эквивалентно (5.27), так как не позволяет
получить прямую
.
Случай
предоставляется рассмотреть читателю.