Примеры

Рис. 6

1. Пусть А и B — два таких множества, что А - В = В - A=. Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?

В

L

G

F

А

В

А

Рис. 4

Рис. 5

Поскольку А – В =  означает, что А  В = , области, представляющие А и В на диаграмме Венна (рис. 4), не перекрываются. Очевидно, В = В, так что мы получаем АВ (рис. 5). И обратно, если АВ, то, очевидно, А – В = . Мы приходим к выводу, что А – В =  равно­сильно АВ. Поменяв ролями А и В, мы получим, что В – А =  равносильно ВА. Таким образом, заданные отношения между А и В равносильны тому, что АВ и ВА, т. е. А = В.

2. Рассмотрим вопрос, можно ли указать три таких подмножества А, В и С универсального множества U, для которых одновременно имели бы место следующие соотношения:

С  , А  В  , А  С = , (А  В) – С = .

Из второго условия вытекает, что А и В пересекаются, из чего, кстати, следует, что оба они непусты. Согласно примеру 1 четвертое условие равносильно тому, что A  B  C, из чего видно, что первое условие является излишним. С помощью диаграммы Венна легко убе­диться, что А и С пересекаются, т. е. что второе и четвертое условия противоречат третьему. Следовательно, множеств, одновременно удов­летворяющих всем приведенным условиям, не существует.

3. Пусть F, G и L—такие подмножества множества U, что

F  G, G  L  F, L  F = .

Можно ли на самом деле найти такие множества F, G и L, которые удовлетворяли бы этой совокупности условий? Диаграмма Венна (рис. 6) иллюстрирует только первое и третье условия. Но теперь из второго условия следует, что L и G не могут пересекаться, так что G  L = . С другой стороны, если F  G и G  L = , то выполняются все задан­ные условия. Таким образом, данная система условий может быть све­дена к более простой: F  G и G  L = .

1¹ Впрочем, это относится не ко всем математикам даже и того времени. См. ниже, главу III, особенно § 3.9.— Прим. перев

1¹ Речь идет о так называемых антиномиях (противоречиях) теории множеств; см. ниже, §§ 1.2, 3.3 и 3.9.— Прим. перев

2² Насколько в действительности убедительны ссылки на «обычность» наивных тео­ретико-множественных методов, читатель более квалифицированно сможет судить после чтения последних параграфов главы III.— Прим. перев

1¹ И тем не менее, как отметил выше автор, именно это делал Кантор, а вслед за ним—большинство математиков. Речь идет, таким образом, о том, что, рассматривая в математике множества, элементы которых «даже теоретически нельзя собрать в за­ конченную совокупность», мы отвлекаемся от этой невозможности. Подробнее об этой так называемой абстракции актуальной бесконечности см., например, в соответствую­щей статье из первого тома «Философской энциклопедии» (М., I960).— Прим. перев.

2² Примеры: множество букв древнейшего алфавита ближайшей к Земле из суще­ствующих во Вселенной цивилизаций; множество людей, погибших в троянскую войну; множество возгласов «бис!» на послезавтрашнем концерте Рихтера ... Читатель легко продолжит список.— Прим. перев.

1¹ Употребителен также термин принцип экстенсиональности.— Прим. перев;

1¹ В оригинале — formula (формула); в переводе мы предпочли воспользоваться более подходящим (и употребительным) для данной цели термином «форма», тем бо­лее, что слову «формула» ниже (начиная с § 2.3) будет придаваться специальное зна­чение.— Прим. перев.

1¹ Принцип этот часто называют также принципом свертывания; в формулировке его обычно говорят не о форме, a d формуле, но мы (см. предыдущее примеча­ние) предпочитаем резервировать этот термин для обозначения формальных выраже­ний определенного вида (см. §§ 2.3, 2.7 и особенно 3.8).— Прим. перев

1¹ Разумеется, речь идет о сенате США — Прим. перев. и ред

1 Здесь мы пользуемся обозначением, подробно обсуждаемым ниже.

1¹ См. §§ 2.1 и 2.2. —Прим.. пгрев.

1¹ Читатель, возможно, привык к использованию различных терминов для наименования какой-либо операции и ее результата: «умножение» — «произведение», «сложение»—«сумма», «вычитание» — «разность». В этой книге во многих случаях (хотя и не всегда) для обоих понятий используется один термин; к двусмысленностям это не приводит, поскольку из контекста ясно, о чем именно идет речь.— Прим. перев.

2² Под «рассуждением» здесь может пониматься и целая книга или даже некото­рая научная теория; ср. ниже авторские примеры. Вместо «универсальное множество» часто говорят «универсум рассуждения» или просто «универсум».— Прим. перев.

3³ Этот способ изображения отношений между множествами (или классами, поня­тиями, свойствами) известен также под именем «кругов Эйлера».— Прим. перев