1.3. Включение

Теперь мы введем еще два отношения между множествами. Если А и В суть множества, то говорят, что А включено в В (символическая за­пись: А  В), если каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае говорят также, что множество А есть под­множество множества В. Далее мы условимся считать выражение «В включает А» (символически: В  А) синонимом для «А включено в В». Таким образом, как А  В, так и В Ê А означает, что для каждого х, если х  А, то х Î В. Множество А строго включено в В (символически: А  В), или, по-другому, В строго включает А, или А есть истинное подмножество В, если А Í В и А  В. Например, множество четных чисел строго включено, в множество Z целых чисел, а множество Q рациональных чисел строго включает Z.

Основные свойства отношения включения следующие:

Х Í Х;

X í y и y í z влечет X í z;

Х Í У и У Í Х влечет X = Y.

Последнее из этих соотношений выражает в терминах отношения включения два шага в доказательстве равенства двух множеств: для того чтобы доказать, что X = Y, надо доказать, что X Í Y, а затем, что Y Í Х.

Для отношения строгого включения справедлив аналог лишь одного из этих трех свойств - второго. Доказательство того, что X  Y и Y  Z влекут X  Z, составляет предмет одного из упражнений в конце этого параграфа. Там же читатель найдет и другие свойства строгого вклю­чения, в том числе вытекающие из свойств отношения включения, част­ным случаем которого оно является.

Поскольку начинающие склонны смешивать отношения принадлеж­ности и включения, мы при каждом удобном случае будем подчерки­вать различия между ними. Заметим сразу же, что аналоги первых двух из перечисленных выше свойств отношения включения для отношения принадлежности не верны. Например, если X есть множество простых чисел, то ХХ. Другой пример: хотя 1Z и ZÎ {Z}, не верно, что 1 Î {Z}, так как единственный элемент множества {Z}—это множество Z.

Обратимся теперь к рассмотрению подмножеств какого-либо мно­жества, т. е. множеств, включенных в некоторое множество. Образова­ние новых множеств из уже имеющегося множества — процедура, игра­ющая важную роль в теории множеств. Определять подмножества дан­ного множества позволяет принцип абстракции. В самом деле, если Р(х) есть форма от х и А есть некоторое множество, то форма

х Î А и Р (х)

определяет то множество, которое мы выше условились обозначать через {х Î А Р (х). Если А — произвольное множество, а в качестве Р (х) мы выберем х  х, то результат будет {х Î А х  х —это множество, оче­видно, не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может быть только одно множество, не имеющее элементов. Мы будем назы­вать это множество пустым множеством и обозначать его через

.

Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы уста­новить это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент множества  есть элемент множества А. Поскольку  не имеет элементов, это условие выполняется автоматически. Хотя такое рассуждение правильно, в нем есть нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство, которое может оказаться более удоб­ным. Допустим, что  Í А ложно. Это может быть лишь в том случае, если существует некоторый элемент множества , не являющийся эле­ментом множества А. Но это невозможно, так как  не имеет элементов. Значит,   А не является ложным, т. е.   А.

Каждое множество А   имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и . Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Если а Î А, то {а} Í А. В некоторых случаях бывает нужно говорить не об отдельных подмножествах некоторого множества, а о множестве всех подмножеств этого множества. Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается через

P (А).

Таким образом, P (А) есть сокращенное обозначение для

ВВ  А.

Например, если А = {1, 2, 3}, то

P (А)= {А, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, .

В качестве другого примера различия между отношениями принадлеж­ности и включения мы отметим, что если В Í А, то B Î P (А), а если а Î А, то {а} Í А и {а} Î P (А).

Термин «множество-степень множества А» в качестве наименования множества всех подмножеств множества А ведет свое происхождение от того случая, когда А есть конечное множество; в этом случае для А, состоящего из п элементов, P (А) имеет 2ⁿ элементов. Чтобы дока­зать это, рассмотрим следующую схему для описания подмножества В множества А = {а₁, ..., а_п}: последовательность п нулей и единиц, первый член которой есть 1, если а₁ Î В, и 0, если а₁ В, второй член есть 1, если а₂ Î В, и 0, если а₂ В, и т. д. Ясно, что каждое подмножество множества А можно поставить в соответствие некоторой такой последовательности нулей и единиц; например, если п = 4, то a₁, а₃} определяет последовательность 1010 и само определяется ею. Поскольку общее количество таких последовательностей равно 22 ... 2 = 2ⁿ, число элементов множества P (А) также равно 2ⁿ.

Упражнения

1. Доказать каждое из следующих утверждений, используя необхо­димые свойства чисел.

1. {х Î Z | для некоторого у х = 6у} = {х Î Z | для некоторых целых чисел и и v х = 2и и x = 2v;

1. {x Î R| для некоторого действительного числа у х = у²} =

= х  R  х  0;

(с) {х Î Z| для некоторого целого числа у х = 6у} Í {x Î Z| для некоторого целого числа у х=2у}.

2. Доказать каждое из следующих утверждений для произвольных множеств А, В и С:

1. Если A Í В и В Í С, то А Í С.

2. Если A Í В и В  С, то А  С.

3. Если А  В и В Í С, то А  С.

4. Если А  В и В  С, то А  С.

3. Привести пример множеств А, В, С, D и Е, удовлетворяющих одновременно следующим условиям: А  В, В  С, С  D и D  Е.

4. Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А, В и С?

1. Если А  В и В  С, то А  С.

2. Если А  В и В  С, то А  С.

3. Если А Î В и не верно, что В Í С, то А  С.

4. Если А  В и В Í C, то не верно, что С Í А.

5. Если А Í В и В Î С, то А  С.

5. Показать, что для любого множества А  Í А и что А Í  тогда и только тогда, когда А= .

6. Пусть A₁, А₂, ..., А_п — п множеств. Показать, что

А₁ Í А₂ Í … Í А_n Í А₁

тогда и только тогда, когда

А₁ = А₂ = … = А_n .

7. Привести несколько примеров таких множеств X, для которых каждый элемент множества X есть подмножество множества X.

8. Перечислить все элементы множества P (А) для множества

А = {{1, 2}, {3}, 1}.

7. Для каждого положительного целого числа п указать пример такого множества А_п, состоящего из п элементов, что для каждой пары элементов множества А_п один из элементов есть член другого.