- •Литература
- •Введение
- •Введение в Image Processing Library
- •Основные понятия теории сигналов
- •Переход от непрерывных сигналов и преобразований к дискретным
- •Преобразование Фурье
- •Быстрое преобразование Фурье
- •Ввод изображений
- •Кодирование цветных изображений
- •Глубина и квантование цвета
- •Сжатие изображений
- •Форматы графических файлов
- •Работа с файлами в формате bmp
- •Зеркальные отражения изображений
- •Повороты изображений
- •Препарирование изображений
- •Бинаризация
- •Яркостный срез
- •Линейное контрастирование
- •Пилообразное контрастирование
- •Соляризация
- •Эквализация
- •Выполнение логических и арифметических операций над изображенями
- •Выполнение логических операций
- •Выполнение арифметических операций
- •Общие понятия фильтрации изображений
- •Масочная фильтрация
- •Генерация шума
- •Восстановления изображений на основе обратной фильтрации
- •Фильтрация Винера
- •Итерационные методы восстановления изображений
- •Алгебраические методы восстановления изображений
Преобразование Фурье
Интегралы свертки и автокорреляции
Рассмотрим два важных с точки зрения фурье-оптики математических понятия: свертку и автокорреляцию. Они применяются в оптике при моделировании и анализе изображений. В частности, например распределение интенсивности по изображению, при определенных условиях, может быть рассчитано, как свертка функции предмета и функции рассеяния точки. Свертка двух функций f(x) и g(x) является функцией , определяемой следующим образом:
Свертка обозначается символом , т.е. .
Если существует интеграл свертки, то справедливы следующие равенства:
, , .
Под автокорреляцией некоторой функции f(x) понимается свертка функции самой с собой. То есть автокорреляция . Так, например, ОПФ есть автокорреляция зрачковой функции.
Преобразование Фурье
Обычно в курсах оптики при рассмотрении дифракционных задач применяется принцип Гюйгенса–Френеля. Фронт волны (или другая поверхность) разбивается на элементарные площадки, излучающие вторичные сферические волны. Суммирование этих волн позволяет построить дифракционное изображение. В то же время во многих задачах, связанных с распространением света, более естественно и удобно вместо принципа Гюйгенса–Френеля использовать метод Рэлея, который состоит в разложении волнового поля не по сферическим, а по плоским волнам.
Важное преимущество разложения по плоским волнам состоит в том, что оно основано на преобразовании Фурье. Его математический аппарат позволяет применять для описания оптических явлений радиофизический язык и перенести в оптику многие идеи, возникшие первоначально в радиофизике. Метод аналогий на основе общих математических моделей позволяет систематизировать широкий круг волновых явлений. Такие известные оптические методы как голография, пространственная фильтрация, метод фазового контраста и т.д. имеют хорошо разработанные радиофизические аналоги. Им отведено большое место в литературе, установилась терминология, выработаны схемы решения типичных задач.
Математическое содержание метода Фурье сводится к представлению произвольных функций в виде дискретной или непрерывной совокупности гармонических функций. Такое представление играет исключительную роль в линейных физических задачах. В радиофизике обычно интерес представляют электрические сигналы, заданные в виде функций времени f(t). В широком круге задач когерентной оптики основной интерес представляет не временной ход процессов, а пространственная структура поля, заданная в некоторой плоскости в виде функции координат f(х, у), или в простейшем (одномерном) случае – в виде функции одной координаты f(x) , называемой комплексной амплитудой поля. Фурье-разложение функции f(x) позволяет представить волновое поле в виде совокупности плоских волн, что упрощает решение многих задач распространения и дифракции волн. С точки зрения математической теории Фурье-преобразования физический смысл аргумента функции f (время t , или координата x ) не играет роли.
В курсах математики доказывается, что любую периодическую функцию f(t) периода T можно представить в виде дискретного ряда Фурье:
где – круговая частота n-ои гармонической составляющей, Сn – комплексная амплитуда n-ой гармоники:
Совокупность коэффициентов Сn называют спектром функции f(t); при этом есть амплитуда гармоники частоты , a – относительный фазовый сдвиг.
На практике в большинстве случаев приходится сталкиваться с непрерывными функциями, и в общем случае, прямое преобразование Фурье определяется интегралом следующего вида:
При этом называется Фурье-образом (или спектром) функции f(x). Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции f(x) был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию f(x). Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида:
Как видно, прямое и обратное преобразования Фурье отличаются друг от друга знаком в показателе экспоненты. Вообще говоря, нет однозначного определения, какое из этих выражений является прямым, а какое – обратным. Выбор знака в показателе экспоненты основывается на специфике решаемой задачи.
Для обозначения преобразования Фурье используются сокращенная запись и операторная запись: для прямого и для обратного.