Пример 10.
Дана статически неопределимая балка постоянного прямоугольного поперечного сечения (рис. 20.18, а). Определить предельную нагрузку Fu, если предел текучести материала балки = 285 МПа.
Решение.
Определяем предельный изгибающий момент (момент текучести), используя формулы и :
Для балки, нагруженной сосредоточенными силами, эпюра изгибающих моментов изображается ломаной линией (рис. 20.18, б). Пики эпюры моментов будут находиться в заделке и в точках приложения сосредоточенных сил. В этих сечениях и могут возникать пластические шарниры. В рассматриваемом случае возможны два механизма разрушения балки.
Первый механизм разрушения. Предположим, что пластические шарниры образовались в заделке и в сечении на расстоянии l1 = 3 м от заделки (рис. 20.18, в).
Составим уравнение предельного равновесия для всей балки (рис. 20.18, в):
и для правой части балки (рис. 20.18, г):
В результате получена система двух уравнений с двумя неизвестными величинами Fu1 и VB1:
решая которую находим первое значение предельной нагрузки Fu1 :
Второй механизм разрушения возможен при возникновении пластических шарниров в заделке и в сечении на расстоянии l3 = 3 м от правой опоры (рис. 20.18, д).
Составим уравнение предельного равновесия для всей балки (рис. 20.18, д):
и
для правой части балки (рис. 20.18, е):
В результате получена система двух уравнений с двумя неизвестными величинами Fu2 и VB2:
решая которую находим второе значение предельной нагрузки Fu2:
Истинным значением предельной нагрузки должно быть наименьшее из Fu1 и Fu2, но в нашем случае обе предельные нагрузки равны, следовательно,
Fu = min{Fu1, Fu2}= min{95; 95} = 95 кН.
Пример 11.
Пусть
дана однопролетная балка, нагруженная
двумя сосредоточенными силами (рис.
20.19). Материал балки – сталь с пределом
текучести
=
285 МПа. Балка имеет прямоугольное
поперечное сечение
=
.
Требуется определить предельную нагрузку
Fu.
Эта задача была решена в примере 10 методом, определяемым статическими теоремами теории предельного равновесия. Решим эту же задачу методом, определяемым кинематическими теоремами теории предельного равновесия. В этом случае будут использоваться формулы для определения работ W внутренних и внешних сил F и моментов М:
и
(20.47)
где
–
путь, пройденный силой F;
–
угол поворота сечения.
Решение.
Первый механизм разрушения образуется при возникновении пластических шарниров в сечениях А и С. Составим уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий:
(20.48)
Учитывая малость углов, запишем (рис. 20.19, а):
откуда
далее
откуда
Из подобия треугольников (рис. 20.19, а) определяем:
откуда
Полученные выражения подставим в уравнение равенства работ (20.48):
откуда и определяем предельную нагрузку Fu1 для первого варианта разрушения балки (рис.20.19, а):
Полученный результат совпал с результатом, полученным в примере 10.
Рассмотрим второй возможный механизм разрушения балки. Он будет при возникновении пластических шарниров в сечениях А и К (рис. 20.19, б).
Составим уравнение равенства работ внешних и внутренних сил:
(20.49)
Согласно
рис.20.19, б
с учетом малости углов
запишем
откуда
откуда
Из подобия треугольников (рис. 20.19, б) определяем
откуда
Полученные
выражения для
,
,
подставим
в уравнение работ (20.49) для второго
возможного механизма
откуда и находим предельную нагрузку Fu2:
Окончательно получаем: Fu = min{Fu1, Fu2}= min{95; 95}= 95 кН.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
1)
Определить предельную нагрузку Fu
для стержневой системы, показанной на
рис.1. Материал стержней АВ
и СD
имеет предел текучести
=
285 МПа, балка АС
– абсолютно жесткая. Площади поперечных
сечений стержней АВ
и СD
одинаковы и равны А
=
2) Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис. 2, если А1 = 2 см2, А2 = 1 см2, предел текучести материала стержней = 285 МПа.
Ответ к рис.1: Fu = 2 А = 285 кН.
Ответ к рис.2: Fu = 55 кН.
Задача 2.
Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, изображенной на рисунке. Предел текучести материала стержней .
Ответ:
Fu
=
min{Fu1;
Fu2};
Fu1
=
A1cos(
)/cos
;
Fu2
=
A2cos(
)/cos
.
Задача 3.
Дана плоская шарнирно-стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса ВD, опертого на шарнирную опору О (см. рис.). Брус BD прикреплен к двум стержням BB1 и CC1 при помощи шарниров. Площади поперечных сечений стержней ВВ1 и СС1 принять равными А. Предел текучести материала стержней ВВ1 и СС1 – . Определить предельную нагрузку Fu.
Ответ:
.
Задача 4.
Три стержня с одинаковыми площадями поперечных сечения А прикреплены шарнирно к абсолютно жесткой балке ВС (см. рис.). Обозначив предел текучести материала стержней через , определить предельную нагрузку Fu.
Ответ:
.
Задача 5.
Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, представленной на рисунке. При расчете принять предел текучести материала стержней = 2900 кг/см2, брус BD – абсолютно жесткий.
Ответ: Fu = 67,67 т = 663,8 кН.
Задача 6.
1) Определить предельную нагрузку Fu для системы, изображенной на рис. 1. Система состоит из четырех стальных стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром. Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы и равны А = 4 см2. Предел текучести стали принять = 2900 кг/см2.
2) Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис. 2. Площади поперечных сечений заданы и равны А1 = 5,5 см2; А2 = 2,2 см2; А3 = 3 см2, а предел текучести стальных стержней = 250 МПа.
Ответ к рис.1: Fu = 36,496 т = 358 кН.
Ответ к рис.2: Fu = 212,7 кН.
Задача 7.
Абсолютно жесткая балка СD подвешена на трех стальных стержнях, площади поперечных сечений которых равны А1 =1 см2; А2 = 2 см2; А3 = 3 см2 (см. рис.). Предел текучести стали принять = 285 МПа. Определить предельную нагрузку Fu.
Ответ: Fu = min{152; 171; 228}=152 кН.
Задача 8.
Консольная
балка длиной l
=
2 м на свободном конце нагружена
сосредоточенной силой Fu.
Приняв
=
285 МПа, определить предельную нагрузку
Fu,
если балка имеет постоянное по длине
прямоугольное поперечное сечение
=
15 см
5
см.
Ответ: Fu = 40,08 кН.
Задача 9.
Однопролетная шарнирно опертая балка из двутавра №20 нагружена посередине пролета силой F. Пролет балки l = 4 м, предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, = 1. Определить допускаемую Fadm и предельную нагрузку Fu.
Ответ: Fadm = 44,16 кН; Fu = 59,28 кН.
Задача 10.
Для статически неопределимой балки, изображенной на рисунке, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, а балка представляет собой двутавр № 20, причем l1 = l2 =l = 2 м.
Ответ: Fu = 4Мu/l = 118,56 кН.
Задача 11.
Для
статически неопределимой балки,
изображенной на рисунке, найти предельную
нагрузку, если предел текучести материала
балки
=
285 МПа. Балка имеет прямоугольное
поперечное сечение
=
,
а l1
= 1 м, l2
= 2 м.
Ответ: Fu = 3Mu = 855 кН.
Задача 12.
Для балки, показанной на рисунке, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, балка представляет собой двутавр № 20, причем l1 = l2 = l = 2 м.
Ответ: Fu = 3Mu /l = 88,92 кН.
Задача 13.
Для один раз статически неопределимой балки, изображенной на рисунке, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки = 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение = , а l1 = 1 м, l2 = 2 м.
Ответ: Fu = Mu(2 + l1/l2)/l1 = 2,5Mu = 712,5 кН.
Задача 14.
Решить задачу 10 кинематическим методом, используя уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий.
Задачи 15 –17.
Решить задачи 11-13 кинематическим методом, используя уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий.
Задача 18.
Определить предельную нагрузку для балки постоянного сечения, показанной на рисунке, если l1 = l2 = l, EIz = const по всей длине балки, – предел текучести материала балки, Wz,pl – пластический момент сопротивления.
Ответ: Fu = 6 Wz,pl/l = 6Mu/l.
Задача 19.
Стальной стержень сплошного круглого сечения, жестко закрепленный с обоих концов, нагружен крутящим моментом Мu = 50 кНм (рис. а). Определить необходимый диаметр стержня, используя расчет по предельному состоянию.
Принять предел текучести материала стержня = 150 МПа, коэффициент запаса прочности n = 2.
Ответ:
Задача 20.
Стальной стержень сплошного круглого сечения жестко закреплен с одного конца, а на другом свободном конце нагружен крутящим моментом Мu = 50 кНм. Определить необходимый диаметр стержня, используя расчет по предельному состоянию. Принять предел текучести материала стержня = 150 МПа, коэффициент запаса прочности n = 2.
Ответ: d = 0,137 м.
Задача 21.
Стальной стержень кольцевого сечения с наружным диаметром D = 10 см и внутренним диаметром d = 9 см жестко защемлен с одного конца, а на другом свободном конце нагружен крутящим моментом Мu. Определить предельный внешний крутящий момент Мu, если предел текучести материала стержня = 150 МПа.
Ответ: Мu = 10,64 кНм.
Задача 22.
Стальной стержень кольцевого сечения с внутренним диаметром d = 9 см жестко защемлен с одного конца, а на другом свободном конце нагружен крутящим моментом Мu = 10 кНм. Определить наружный диаметр D кольцевого сечения, при котором во всех сечениях кольцевого стержня будет предельное состояние. Предел текучести материала стержня = 150 МПа.
Ответ: D = 9,94 см.
Вопросы для самопроверки
1. Поясните суть метода допускаемых напряжений.
2. Поясните суть метода предельного равновесного состояния.
3. Перечислите теории пластичности и дайте соответствующие пояснения.
4. Перечислите основные гипотезы, взятые за основу деформационной теории пластичности.
5. Поясните суть кинематического метода предельного равновесного состояния.
6. Поясните суть статического метода предельного равновесного состояния.
7. Дайте определение понятия пластического шарнира при изгибе конструкций.
