§1. Определение выпуклого многоугольника

Определение 1. Многоугольник Р называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через какие-нибудь две соседние его вершины. Такие прямые далее называются касательными к многоугольнику Р, так что касательная – это прямая, содержащая какую-нибудь его сторону. Далее рассматриваются только выпуклые многоугольники, а появление невыпуклых многоугольников оговаривается особо.

Удается доказать, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полуплоскостей. Полуплоскость называется касательной к Р, если она содержит Р и ограничена касательной к Р.

Доказано , что прямая имеющая общие точки с выпуклым многоугольником, либо разрезает его на два многоугольника, либо проходит через его вершину так, что он целиком лежит в одной из полуплоскостей, определяемых рассматриваемой прямой.

Определение 2. Прямая, проходящая через вершину выпуклого многоугольника так, что он лежит целиком по одну сторону от этой прямой, называется опорной к этому многоугольнику. Любая касательная является опорной, но не каждая опорная является касательной (см. рис. 1).

Доказано нами, что выпуклый многоугольник имеет в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению. Эти прямые ограничивают полосу, содержащую этот многоугольник.

Определение 3. Полоса, ограниченная параллельными опорными прямыми, называется опорной полосой; опорная полоса, у которой хотя бы одна из её граничных прямых является касательной, называется касательной полосой (см. рис. 2).

Упражнения.

Упражнение a. Докажите, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полос.

Упражнение b. Докажите, что невыпуклый многоугольник содержится в выпуклом многоугольнике большей площади и меньшего периметра.

§1. Диаметр и ширина многоугольника

Понятия, которые здесь будут определены, необходимы для

формулировки теоремы, обобщающей приведенные утверждения .

Определение 4. Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его вершинами.

Упражнение c. Докажите, что наибольшее расстояние между точками a) треугольника, б) произвольного n-угольника равно его диаметру.

Определение 5. Шириной многоугольника называется наименьшая ширина его касательных полос.

Упражнения

Упражнение d. Докажите, что ширина любой опорной полосы не меньше ширины многоугольника (откуда следует, что наименьшая ширина опороных полос равна ширине многоугольника).

Очевидно, что ширина треугольника равна его наименьшей высоте.

Упражнение e. Докажите, что ширина Н, диаметр D и периметр Р правильного n-угольника связаны равенствами 2n tg Н= Р= 2n sin D (если n нечетно), n tg H=P=n sin D (если n четно).

см. рис. (3 а, б)

§2. Изопериметрическое и другие экстремальные свойства правильных многоугольников

Докажем следующую теорему

Теорема 1. а) Среди выпуклых n-угольников, лежащих в данном круге, наибольшую площадь (и периметр) имеет вписанный в этот круг правильный n-угольник.

б) Среди n-угольников, содержащих данный круг, наименьшую площадь (и периметр) имеет описанный около этого круга правильный n-угольник.

в) Среди n-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.

Для доказательства теоремы понадобятся пять вспомогательных утверждений, доказать которое мы предлагаем читетелю в качестве упражнений.