Тема 5.Показатели вариации.

1 Теоретическая база.

Для выполнения заданий данной практической работы студент должен изучить лекционный материал и рекомендованную литературу по данной теме, в особенности (1) и (2), а также выполнить предыдущие практические работы.

2 Общие теоретические вопросы, термины, определения, методы (способы), основные формулы расчета показателей вариации.

Как уже можно было убедится на примерах предыдущих практических работ, что среднее значение количественного группировочного признака изучаемой совокупности достаточно абстрактно и поэтому ограничиваться его расчетом при анализе было бы неправильно. Поэтому для получения более полных и точных результатов исследования совокупностей. Организованных в виде распределений, рассчитываются дополнительные показатели и среди них показатели вариации (колеблемости) количественного группировочного признака. В общем виде эти показатели подразделяются на абсолютные, средние и относительные.

2.1 Абсолютный показатель вариации – размах вариации (R), который рассчитывается как разность между max min значениями варианты в ряду распределения. Т.е. R = X max - X min (5.1)

2.2 Средние показатели вариации.

Среднее линейное отклонение (d), которое представляет собой среднюю арифметическую (простую или взвешенную) абсолютных отклонений (без учета знака) индивидуальных значений вариант (Xi) от среднего значения (X).

Рассчитывается по формулам:

n _

∑ ( X i – X)

_ i=1

D =

n (5.2)-для несгруппированных данных

n _

∑ ( X i – X)*f i

_ i=1

d = n (5.3)-для сгруппированных данных

∑ f i

i=1

Дисперсия (ơ²), которая представляет собой среднюю арифметическую (простую или взвешенную) из квадратов абсолютных отклонений индивидуальных значений вариант (X i) от среднего значения (X).

n _

∑ ( X i – X)²

i=1

σ² = --------------- (5.4) – для не сгруппированных данных

n

n _

∑ ( X i – X)² * f i

i=1

σ² = n (5.5)- для сгруппированных данных

∑ f i

i=1

Используя свойство минимальности дисперсии для её расчета, при условии равных интервалов, может быть применим способ моментов.

n

∑ Xi² * f i 2

i=1 ∑ Xi * f i _

σ ² = - = X² - X

∑ f i ∑ f i

т.е. дисперсия рассчитывается как разность среднего квадрата значении признака X² и квадрата среднего его значения. Здесь нужно заметить, что в смысле достоверности результата, формула (5,6) дает меньшую точность, чем формула (5,5). Используется, как правило, для простоты расчета при ручном способе.

В тех случаях, когда совокупность детализирована на отдельные группы и возникает необходимость расчета общей дисперсии по совокупности в целом, применяется правило сложения дисперсий, которое формулируется так:

σ²общ = σ²вн.гр. + σ²м.гр. (5,7)

где:

σ²общ - общая дисперсия признака по всей совокупности в целом;

σ²вн.гр – средняя внутригрупповая дисперсия, которая представляет собой среднюю арифметическую групповых дисперсий и рассчитывается по формуле:

n

∑ σ²iгр * ∑fi гр

i=1 σ²1гр*∑f1гр+σ²2гр*∑f2гр +…+ σ²nгр*∑fnгр

σ²вн.гр = ------------------ = -------------------------------------------------------

n ∑f1гр + ∑f2гр + … + ∑fnгр

∑ f i

i=1

(5.8)

где :

∑ f i - сумма частот всех групп

∑ f iгр - сумма частот 1^й группы

σ²м гр - межгрупповая дисперсия, которая рассчитывается как средняя арифме­тическая отклонений средних значений признака групп от общей средней, т.е.:

n _ _

∑ (Xi гр - Xо)² * ∑ fi гр

i=1

σ²м гр = ---------------------------- (5.9)

∑ fi

где:

Xi гр - среднее значение признака по отдельным группам

Xo - общая средняя, рассчитываемая как средняя арифметическая из средних значении признака совокупности групп –

n _

∑Xi гр * ∑fi гр

_ i=1

X1гр*∑f1гр+X2гр*∑f2гр+…+Xn гр*∑fn гр

Xобщ = ------------------ = ------------------------------------------------------------

∑fi ∑f1гр + ∑f2гр + … + ∑fn гр

(5.10)

Среднее квадратическое отклонение (σ), рассчитывающееся как корень квадратный из дисперсии, т.е.: σ = σ² (5.11)

3. Относительные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции (Ко) — характеризует относительную колеблемость крайних значений признака от среднего значения. Рассчитывается как:

R

Ко = --- 100% (5.12)

X

Относительное линейное отклонение (Kd) - характеризует долю среднего линейного отклонения признака в значение средней. Рассчитывается как:

_

d

Ко = --- 100% (5.13)

X

Коэффициент вариации (г) - характеризует удельный вес среднего квадратичного отклонения признака в значение средней.

Рассчитывается как:

σ

r = --- 100% (5.14)

% выполнения норм выработки Xi	Численность рабочих
	1-я группа fi	2-я группа fi	3-я группа fi
80	5
90	7
100	10	15
110	6	20	8
120	4	10	12
130		8	6
Итого:	32	53	26

Относительные показатели вариации используются, как правило, в сравнительном анализе вариации признака в разрезе групп, совокупностей и т.д.

Ниже приводится методика и последовательность действий по расчёту показателей вариации с учётом современного применения компьютерной техники.

3.Примеры расчёта показателей вариации.

Проведено обследование выполнения норм по трём группам рабочих-станочников цеха. В результате получено следующее распределение:

Требуется:

1. Рассчитать абсолютные, средние и относительные показатели вариации процента выполнения норм по каждой группе.

2. Произвести сравнительный анализ показателей вариации по группам.

3. Рассчитать общую дисперсию по всей совокупности рабочих.

Решение по вопросу 1: Первая группа рабочих

1. Определим размах вариации (R) по формуле (5.1)

R1_rp. = 120% - 80% = 40%

2. Определим средний процент выполнения норм по формуле 3.2

_ 80 * 5 + 90 * 7 + 100 * 10 + 110 * 6 + 120 * 4 3170

X1гр = --------------------------------------------------------- = ------ = 100%

32 32

= 99.06

3. Определим среднее линейное отклонение индивидуальных процента выполнения норм от среднего значения по формуле (5.3)

_ (80-100)*5 +(90-100)*7 +0+(110-100)*6 +(120-120)*4 310

d1гр = ------------------------------------------------------------ = ---- =

32 32

= 9, 68%

4. Определим дисперсию выполнения норм по формуле (5.5)

(-20)² *5+(-10)² *7+0+10² *6+20² *4 4900

σ²1гр = ------------------------------------------- = -------- = 153

32 32

5. Определим среднее квадратичное отклонение по формуле (5.11)

σ1гр = 153 = 12,3%

6. Определим коэффициент осцилляции по формуле (5.12)

40

Ко 1гр = ----- * 100% = 40%

100

7.Определим относительное линейное отклонение по формуле(5,13)

9.68

Кd 1гр = ------- * 100% = 9.68%

100

8. Определим коэффициент вариации по формуле (5.14)

12.3

Кr 1гр = ------- * 100% =12,3%

100

Используя приведённую выше методику расчёта, аналогично, определим показатели вариации для второй и третьей групп рабочих (предполагается самостоятельно выполнить расчёты и сверить результаты).

Вторая группа

R2rp=30% Х_2гр=112% d2гр=8,5% σ²2г_р=76%

σ2г_Р=8,7% Ko_2rp=26,7% Kd_2rp=7,6% Kr_2rp=7,7%

Третья группа рабочих

R3rp=30% Х_3гр=112% d3гр=8,5% σ²3г_р=76%

σ3г_Р=8,7% Ko_3rp=26,7% Kd_3rp=7,6% Kr_3rp=7,7%

Решение по вопросу 2:

Таким образом, сравнительный анализ расчётных показателей вариации выполнения норм выработки показывает, что наименьшие показатели рассеивания индивидуальных значений процента выполнения норм выработки вокруг значения средней в третьей группе рабочих наименьший, а в первой группе рабочих наибольший.

Это означает, что третья группа рабочих по производительности труда наиболее однородна, а первая группа наиболее разнородна.

Решение по вопросу 3:

1. Определим внутригрупповую дисперсию по формуле (5.8)

153*32 + 76*53 + 53*26 10302

σ²вн.гр = -------------------------------- = ---------- = 93

32 + 53 + 26 111

2. Определим общую среднюю по формуле (5.10)

_ 100*32 + 112*53 + 119*26 12230

Xобщ = --------------------------------- = ---------- = 110%

32 + 53 + 26 111

3.Определим межгрупповую дисперсию по формуле (5.9)

(100-110)² *32+(112-110)² *53+(119-110)² * 26 5518

σ²м гр = ---------------------------------------------------------- = ------- =

32 + 53 + 26

= 49.7

4. Определим общую дисперсию по всей совокупности в целом по формуле (5.7)

5. Определим среднее квадратичное отклонение по всей совокупности в целом

σобщ = 142,7 =11,9

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По результатам предварительной группировки работающих на предприятии по размеру заработной платы, получено следующее распределение:

Месячная зарплата	Удельный вес численности (в %), по группам работающих
	1	2	3
500-1000	5	14
1000-1500	25	35
1500-2000	60	40
2000-2500	10	6	15
2500-3000		4	45
3000-3500		2	30
>3500		1	10

Требуется:

1. Рассчитать абсолютные, средние и относительные показатели вариации

признака по группам работающих.

2. Рассчитать общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение по всей

совокупности работающих.

3. Сделать выводы по результатам расчётов.

Задача 2. По результатам предварительной группировки населения по среднемесячному доходу сложилось следующее распределение:

Доход в месяц	Удельный вес населения (в % к итогу), по группам
	1	2	3
До 600	4		5
600-1200	25	18	8
1200-1800	55	42	12
1800-2400	10	30	30
2400-3000	6	10	25
3000-3600			12
3600-4200			6
>4200			2

Требуется:

1. Рассчитать абсолютные, средние и относительные показатели вариации месячного дохода по группам населения района.

2. Рассчитать общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение по всей совокупности населения района в целом.

3. Сделать выводы по результатам расчётов.

Задача 3. Предварительная группировка предприятий отрасли по фондоотдаче дала следующее распределение:

Фондоотдача	Количество предприятий
0,15-0,35	12
0,35-0,55	22
0,55-0,75	7
0,75-0,95	4
0,95-1,15	3
>1,15	2

Требуется:

1. Рассчитать все показатели вариации признака.

2. Сделать выводы о колеблемости рентабельности на предприятиях отрасли.

5. Контрольные вопросы:

1.Что означает показатель "колеблемость" применительно к вариационному ряду распределения?

2.Как подразделяются показатели вариации?

3.Что такое размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение?

4.Что такое относительные показатели вариации и как они рассчитываются?

5.Какие способы расчёта дисперсии Вы знаете?

6.Как формулируется правило сложения дисперсий?

7.Какие показатели вариации с Вашей точки зрения являются наиболее существенными при экспресс-анализе?