СФУ

кафедра СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

и УПРАВЛЕНИЯ КОНСТРУКЦИЯМИ

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

и

ПЛАСТИЧНОСТИ

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

краткого курса

Лектор

проф. Абовский Н.П.

КРАСНОЯРСК

Взаимосвязь наук. Цели и задачи ТУиП

Механика как раздел физики занимает исторически центральное место среди естественных наук (химии, биологии и др.). В механике выделяют два центральных раздела:

1). механику твердого тела

2). механику жидкости и газа (гидродинамику, аэродинамику)

Механика твердого тела подразделяется на механику, изучающую

недеформируемые и деформируемые тела, с учетом свойств (идеализируемые) материала (упругие, неупругие, пластичные,

в язкие и др.)

Теоретическая механика изучает статику, динамику, кинематику тел и систем тел без учета изменения их формы (как абсолютно жестких)

Механика деформируемого твердого тела (МДТТ) особенно важна для инженерных конструкторских задач, так как без учета деформирования нельзя решить вопросы прочности, жесткости и устойчивости конструкции. В МДТТ входят: сопр. материалов (СМ), теория упругости и пластичности (ТУиП), строительная механика систем (СМС), задачей которых является определение напряженно-деформированного состояния (НДС) отдельных тел и систем тел.

Различие между СМ и ТУиП:

СМ – изучает НДС в основном бруса, для чего принимаются упрощающие гипотезы типа плоских сечений. Это удается сделать учитывая, что два размера бруса малы по сравнению с третьим, т.е. рассматриваются в основном одномерные задачи.

ТУиП - рассматривает НДС тел любой формы и нагружения, т.е. СМ – является как бы частным случаем ТУиП.

СМС – изучает стержневые системы плоского и пространственного видов МДТТ (СМ, ТУиП, СМС) – являются фундаментальными науками для инженерных конструкций различного вида на земле, воздухе, космосе, воде, включая их взаимодействие с окружающей средой (в том числе с основанием)

В ряде случаев требуется совместный взаимосвязанный расчёт с воздействиями внешней среды, так называемые связанные задачи, в которых уравнения изменения состояния среды совместно решаются с уравнениями МДТТ (например ТУиП): задачи аэроупругости, термоупругости и др. Если же параметры состояния и воздействия внешней среды известны, то задача упрощается, т.е. например решаются уравнения ТУиП на заданные нагрузки (воздействия внешней среды) – это традиционные задачи проектирования конструкций.

Важнейшей задачей конструирования является выбор рациональной формы конструкции и оптимизация ее параметров (наука формообразования), решения которой базируются на законах ТУиП и СМС.

Рациональное конструирование базируется на знаниях и умении моделировать, т.е. представить приближенно, но достаточно точно модель реальной конструкции для расчета её НДС (выбор расчетной схемы и ее реализация, в том числе по компьютерным программам). Для моделирования используются математический аппарат (аналитический или численный, например МКЭ или МКР), а также физическое моделирование (эксперимент).

ВЗАИМОСВЯЗЬ НАУК

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

… ХИМИЯ

БИОЛОГИЯ …

ФИЗИКА

МЕХАНИКА

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ и ГАЗА

НЕ ДЕФОРМИРУЕМЫЕ

ТЕЛА

ДЕФОРМИРУЕМЫЕ

ТЕЛА

МАТЕРИАЛО-

ВЕДЕНИЕ

ОСНОВАНИЯ

и

ФУНДАМЕНТЫ

МЕХАНИКА ГРУНТОВ

П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н О Е

Ф О Р М О О Б Р А З О В А Н И Е

И Н Ж Е Н Е Р Н Ы Е Н А У К И

АНАЛИТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ЧИСЛЕННОЕ

ФИЗИЧЕСКОЕ

– (ЭКСПЕРИМЕНТ)

Характерные отличительные задачи

Сопротивление материалов	Теория упругости
Гипотезы плоских сечений	Высокая балка
Плоское несвязанное деформирование отдельных сдельных балок, т.е. другие балки не деформируются и не оказывают поддержки нагруженной балке	Пространственное деформирование плиты. Изгибается вся плита, где бы нагрузка не находилась, т.е. работает весь материал

Контрольные вопросы:

1. Цель и задача ТУиП?

2. Какие тела изучает сопр. материалов, а какие ТУиП?

3. В чем принципиальное отличие теор. механики от сопротивления материалов?

4. Применимы ли гипотезы сопр. материалов (в частности, гипотезы плоских сечений) для тел любой формы?

5. Брус, балка – это трехмерные тела. На основе чего задача их деформирования сведена в сопр. материалов к одномерной задаче? (y=f₁(x), =f₂(x), τ _vy= f₃(x) и т.д.) Можно ли подобное сделать в ТУиП?

6. Какова взаимосвязь между ТУиП и конструкциями? Почему строит. мех. и ТУиП называют фундаментальными науками?

7. Создает ли пространственное деформирование принципиальные возможности для более выгодного использования материала конструкции по сравнению с плоским или линейным (одномерным) деформированием?

Задачи Т.У.: определение НДС тел любой формы при любых нагрузках

Контрольные вопросы:

1. В ТУиП (СМ и СМС) не рассматривается атомно-молекулярное строение тел, а принята гипотеза сплошности, следствием которой является неразрывность деформирования (т.е. после деформирования тело должно оставаться сплошным). Если после анализа результатов расчета обнаружится, что где-то нарушена неразрывность деформаций (например, два смежных сечения разошлись или повернулись на разные углы), то какой вывод Вы сделаете?

2. Представьте, что при проведенном Вами эксперименте нагружения тела обнаружится нарушение линейной зависимости между ростом нагрузки и перемещениями (деформациями), то какой вывод Вы сделаете?

3. Если при нагружении конструкции ее первоначальные размеры существенно меняются (например, размер шарика при надувании существенно увеличивается), то можно ли для определения НДС применять линейную теорию?

4. Покажите справедливость принципа Сен-Венана к задачам (1) и (2), используя нагружение (3). (Балка одна и таже)

Р

Р

1)

2)

3)

П

Р

рименимы ли эти рассуждения, т.е. справедлив ли принцип Сан-Венана, если поперечное сечение балки в виде тонкостенного профиля?

ТЕОРИЯ

УПРУГОСТИ

И

ПЛАСТИЧНОСТИ

ТРИ СТОРОНЫ ЗАДАЧИ ТУиП

полностью системно охватывают проблему ТУиП

Правило:

Если при решении задач ТУиП хотя бы одна из сторон полностью или частично не учтена, то это признак неполного или неверного решения

К

Р О З У

разделяем отбрасываем заменяем уравновешиваем

ак проникнуть внутрь сплошного тела любой формы? Используют известный из сопротивления материалов метод сечений или как его называли

В ТУиП метод сечений относят к бесконечно малым б.м. дифференциальным элементам с размерами d_x, d_y; для плоской задачи. Фиксируют элемент вокруг его центра (например, точки А) координатами х и у. Поэтому составленные в итоге уравнения равновесия этого б.м. элемента являются дифференциальными уравнениями элементами, в которых напряжения (σ и τ) зависят от координат х и у.

Так же перемещения и деформации являются функциями координат х и у

Термины и обозначения

• Положение выделяемой б.м. площади фиксируется внешней нормалью к ней.

ν – внешняя нормаль к наклонной площадке на контуре фиксируется направляющими cos(х,ν), cos(у,ν), cos(z,ν).

Например:

При cos(х,ν)=1, а cos(у,ν)=cos(z,ν)=0 ν →Х, т.е. эта площадка параллельна плоскоти ZY.

• Полный вектор напряжения на площадке раскладывается на три компонента: нормальное σ и два касательных, например, на площадке с нормалью Х: σ_х, τ_ху и τ_хz. Первый индекс обозначает нормаль к площадке, т.е. саму площадку, а вторые индексы при τ – указывают ось координат в направлении вдоль которой действует τ.

Привыкнем к обозначениям: σ_х – это нормальное напряжение на площадке с нормалью х.

τ_ху – касательное напряжение на площадке с нормалью х в направлении оси у и т.д.

Рабочее определение напряжения:

Напряжение – это сила, действующая на элементарной площадке, отнесения к единице площади. Размерность: . Нельзя говорить о напряжении, без указания площади на которой оно действует (т.е. без адреса).

Статическая сторона задачи сводится к рассмотрению равновесия элемента, грани которого параллельны осям координат и элемента на контуре, грани которого наклонены к осям координат.

Все напряжения являются функциями координат точек тела. Уравнения в области получаются дифференциальными. Количество искомых в них напряжений (σ и τ) больше, чем число уравнений, поэтому задача является статически неопределимой и не может быть решена без привлечения двух других сторон (геометрической и физической).

τ_νу= τ_ух – взаимность касательных напряжений

Нагрузки: , – компоненты объемных сил (например, силы притяжения)

имеют размерность отношений нагрузки (ста) к единице объема

элемента

Х_ν, У_ν – компоненты нагрузки, приложенной к элементу поверхности с внешней нормалью ν.

Размерность: сила (нагрузка), на единицу поверхности

Заметим, что поверхностная нагрузка Х_ν, У_ν входит только в уравнения равновесия на поверхности, которые связывают нагрузку на поверхности с напряжениями на площадках параллельных осям координат. Без этих уравнений невозможно ввести заданную поверхностную нагрузку в решение задачи. Эти же уравнения можно приспособить для определения главных напряжений и главных площадей внутри тела.