4. Дискретная случайная величина.

Случайная величина Х - это переменная, которая может принимать в зависимости от исходов испытаний те или иные случайные значения х_i. Если все значения случайных величин составляют счетное множество, то случайная величина называется дискретной. Ряд количественных показателей экономических систем могут быть рассмотрены как дискретные случайные величины.

Закон распределения случайной дискретной величины связывает между собой значения случайной величины и вероятности принятия случайной величиной ее значений. Он может быть записан в форме таблицы:

Xi	X0	X1	X2	…	Xk	ИТОГО
Pi=P(X=Xi)	P0	P1	P2	…	Pk	1

Особое место среди случайных дискретных величин занимают величины с биномиальным законом распределения:

• число наступлений события в независимых повторных испытаниях,

• частота наступлений события в независимых повторных испытаниях.

Характеристики дискретной случайной величины:

- математическое ожидание.

- дисперсия.

- среднее квадратическое отклонение.

При расчетах дисперсии используют свойство: D(X) = М(Х²)-М²(Х).

Для биномиально распределенных случайных величин можно применять известные формулы расчета характеристик:

Функция распределения дискретной случайной величины:

Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной, она имеет разрывы в точках с координатами, равными значениям случайной величины.

Основные операции над случайными дискретными величинами:

1. Умножение случайной величины на число a:

Y=aX, Y=y_i=ах_i , P(Y = у_i)=P(X=x_i)=p_i;

где X=x_i, P(X=x_i)=p_i

2. Суммирование случайных величин: Z=X+Y, Z = z_ij=x_i+y_j, P(Z=z_ij)=p_i*p_j ; где Х = х_i , Р(Х = x_i)= p_i; Y = y_j , P(Y=y_j)=p_j

3. Умножение случайных величин:

Z = XY, Z = z_ij=x_i*y_j, P(Z=z_ij)=p_i*p_j ; где Х = х_i , Р(Х = x_i)= p_i; Y = y_j , P(Y=y_j)=p_j.

Пример 4.1. У господина "N" имеется три пакета акций различных предприятий. Вероятность получения дохода по пакету акций равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины X - числа доходных пакетов акций у господина, определить ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что у данного господина не менее двух доходных пакетов акций.

Решение. Для каждого выбранного пакета акций может наступить одно из событий: он не принесет дохода - или принесет - А, по условию задачи с вероятностями Р(А)=0,6 = р; Р( )=0,4 = q. Вероятности событий неизменны для всех пакетов акций, следовательно, имеют место независимые повторные испытания, число которых мало n=3.

X – случайная величина, а именно, число доходных пакетов акций у господина. Рассмотрим событие х_m=m, состоящее в том, что событие А наступит в n независимых испытаниях m раз. Для определения вероятности данного события следует применять формулу Бернулли. Случайная величина имеет биномиальный закон распределения:

хm=m
0
1
2
3
итого	1

Характеристики биномиально распределенной случайной величины можно найти, используя известные формулы:

Математическое ожидание - М(Х=m)=3*0,6=1,8.

Дисперсия – D(X=m)=3*0,6*0,4 = 0,72.

Событие В, состоящее в том, что у господина не менее двух доходных пакетов акций, т.е. или два или три, имеет вероятность:

Р(В) = Р(Х  2) = P(X = 2)+Р(Х = 3) = 0,432 +0,216 = 0,648.

Пример 4.2. В населенном пункте три рынка. Вероятность того, что на рынке есть необходимый для господина N товар, равна 0,6. Он пытается купить этот товар. Если на очередном рынке отсутствует данный товар, господин отправляется за ним на следующий рынок. Поиски прекращаются либо с приобретением товара, либо после того как посещены все рынки. Составить закон распределения числа посещенных рынков. Построить функцию распределения найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа посещенных рынков.

Решение. X - число посещенных рынков. А_i - событие, состоящее в том, что на посещенном рынке есть необходимый товар, _i - товар отсутствует. Вероятности этих событий: P(А_i)=0,6=p; P( _i)=0,4=q; i=1;2;3. Закон распределения и рабочие расчеты по характеристикам случайной величины:

хi	pi=Р(Х = хi)	XiPi	Xi2Pi
1	pl=P(X=l) = P(Al) = 0,6	0,6	0,6
2	p2 = Р(Х = 2)=Р( 1)*Р(А2)=0,4*0,6 = 0,24	0,48	0,96
3	p3 = Р(Х = 3)=Р( 1)*Р( 2)=0,4*0,4 = 0,16	0,48	1,44
	1.0	1,56	3,0

Характеристики случайной величины - числа посещенных рынков:

Математическое ожидание -

Дисперсия - D(X) = М(Х²)-М²(Х)=3-(1,56)²=0,5664.

Среднее квадратическое отклонение -

По определению функция распределения случайной величины: F(x)=P(X<x); xR.

Следовательно, функция распределения рассматриваемой случайной величины - числа доходных акций господина принимает вид:

	0;	x1
F(X)=	p1=0,6;	1<х2
	p1 + p2 = 0,6+0,24=0,84;	2<x3
	p1 + p2 + p3 = 0,6+0,24+0,16 = 1;	х>3

Пример 4.3. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z - суммы потраченных средств на приобретение товара, если известны законы распределения случайных величин Х - количества приобретаемого товара и Y - стоимости одной условной единицы товара. С какой вероятностью можно ожидать, что потраченные средства не превысят 1 условной единицы?

Xi	0,3	0,4	итого		yj	2	3	4	итого
Pi	0,2	0,8	1		Pj	0,3	0,5	0,2	1

Решение. Используем операцию умножения случайных величин. Рабочие расчеты по операции:

yj	Pj	2	3	4
Xi	Pi	0,3	0,5	0,2
0,3		0,3*2 = 0,6	0,3*3=0,9	0,3*4 = 1,2
	0,2	0,2* 0,3 = 0,06	0,2 *0,5 = 0,1	0,2 * 0,2 = 0,04
0,4		0,4*2=0,8	0,4*3=1,2	0,4*4=1,6
	0,8	0,8* 0,3 = 0,24	0,8* 0,5 = 0,4	0,8 * 0,2=0,16

Искомый закон распределения (первые две строки таблицы) и рабочие расчеты по характеристикам случайной величины Z - суммы потраченных средств:

zij	0,6	0,8	0,9	1,2	1,6	итого
P(Z=zij)	0,06	0,24	0,1	0,4+0,04	0,16	1
ZkPk	0,036	0,192	0,09	0,528	0,256	1,102
Zk2 Pk	0,0216	0,1536	0,081	0,6336	0,4096	1,2994

Математическое ожидание – M(Z) =  z_кр_к =1,102.

Дисперсия - D(Z)=m(z²)-M²(z)=1,2994-(1,102)² =0,085.

Среднее квадратическое отклонение - (Z) = 0,291.

Вероятность того, что потраченные средства не превысят 1 условной единицы:

P(Z < 1)=0,06+0,24+0,1=0,4.

Пример 4.4. В урне 10 шаров: 4 белых, остальные – черные. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров, если из урны один за одним не глядя вынули 3 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Найти вероятность того, что число вынутых белых шаров окажется больше математического ожидания.

Решение. Х – число белых шаров из 3 взятых. Закон распределения и рабочие расчеты по характеристикам случайной величины:

хi	pi=Р(Х = хi)	XiPi	Xi2Pi
0		0	0
1		0,5	0,5
2		0,6	1,2
3		0,1	0,3
	1.0	1,2	2,0

Характеристики случайной величины Х - числа белых шаров из 3 взятых:

Математическое ожидание -

Дисперсия - D(X) = М(Х²)-М²(Х)=2-(1,2)²=0,56.

Вероятность того, что число вынутых белых шаров окажется больше математического ожидания:

P(X>M(X))=P(X>1,2)=P(X=2)+P(X=3)=0,3+1/30=1/3.

Закон распределения дискретной случайной величины Х в данной задаче носит название гипергеометрический закон распределения.

5. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, все возможные значения которой целиком заполняют некоторый промежуток на числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины:

Функция не убывает и непрерывна, причем производная функции не имеет разрывов на всей числовой оси, за исключением конечного числа точек.

F(-)=0; F(+)=1.

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал aX<b определяется по формуле: P(aX<b)=F(b)-F(a).

Плотность вероятности непрерывной случайной величины: f(x)=F’(x); xR.

Свойства плотности вероятности:

1. f(x)0; xR.

2. 

3. 

4. P(aX<b)=F(b)-F(a)=

5. 

6. Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

7. Дисперсия непрерывной случайной величины:

Нормальный закон распределения случайной величины.

Плотность вероятности: xR.

Параметры нормального закона:

- математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение.

Интегральная функция:

Свойства интегральной функции нормального закона:

1. ^*(-)=0; ^*(+)=1.

2. ^*(x)=0,5+(x), где (x) – функция Лапласа.

3. ^*(-x)=1-^*(x).

4. 

5. 

Сумма конечного числа независимых величин с нормальным законом распределения имеет нормальный закон распределения.

Важное применение для решения задач имеет теорема Ляпунова, согласно которой сумма большого количества независимых случайных непрерывных величин распределена по нормальному закону.

Равномерный закон распределения случайной величины.

Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в интервале (a;b), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:

Интегральная функция:

Вероятность попадания в заданный интервал (;):

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Показательный закон распределения случайной величины.

Плотность вероятности:

Параметр показательного закона:  - в теории массового обслуживания – среднее число событий, приходящихся на единицу времени.

Интегральная функция:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (;):

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

При определенных условиях число событий, произошедших за промежуток времени , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а=. Длина промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется показательному закону:

Пример 5.1. Дана плотность вероятности случайной величины X:

[ 0 , xl

[ f(X)= 0,25 , 1<х5. Найти функцию распределения, М(Х), D(X).

[ 0 , х>5

Решение. По определению функция распределения F(x)=

Следовательно, функция распределения принимает вид:

	0	x1
F(X)=		1<х5
	1	х>5

Математическое ожидание случайной величины:

Дисперсия случайной величины:

Пример 5.2. Торговая точка имеет в продаже большое количество различных товаров. Средняя выручка в день составляет 5 д.е., а среднее квадратическое отклонение 0.9 д.е. Составить плотность вероятности и функцию распределения выручки торговой точки. Найти вероятность того, что выручка торговой точки в случайно выбранный день: а) составит от 4 до 7 д.е., б) будет отличаться от средней выручки не более чем на 2 д.е.

Решение. X - выручка торговой точки, случайная величина, представляющая собой сумму большого количества случайных величин - выручек от продажи различных товаров, т.о., согласно теореме Ляпунова, имеет нормальный закон распределения.

Средняя выручка, по теории выборки (математическая статистика), является хорошей оценкой математического ожидания данной случайной величины. Следовательно: М(X)=5д.е.; (Х)=0,9д.е.

Плотность вероятности - xR.

Функция распределения - xR.

Вероятность того, что выручка торговой точки составит от 4 до 7 д.е.:

Вероятность того, что выручка будет отличаться от средней выручки не более чем на 2 д.е.:

Пример 5.3. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 20 минут. Найти вероятность того, что пассажир, случайно подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус более 15 минут. Найти числовые характеристики полученной случайной величины.

Решение. Х- случайная величина, время ожидания пассажиром очередного автобуса. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0;20].

a=0; b=20; =15; =20.

Плотность вероятности:

Вероятность ожидания автобуса более 15 минут:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Пример 5.4. Случайная величина Х – время безотказной работы прибора распределена по показательному закону с параметром =0,01 1/час. Вышедший из строя прибор немедленно заменяют новым. Найти вероятность того, что неисправность прибора наступит не ранее, чем через 150 часов. Найти вероятность того, что за 200 часов прибор не придется заменять.

Решение. Случайная величина Х – время безотказной работы прибора распределена по показательному закону, следовательно:

Число отказов прибора за время =200 часов распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а==0,01*200=2. Вероятность того, что за 200 часов прибор не придется заменять, вычисляется по формуле Пуассона:

6.ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Лемма Маркова.

Для случайной неотрицательной величины X справедливы неравенства:

1.

2.

Неравенство Чебышева.

1.

2.

Неравенство Чебышева для случайных величин, распределенных по биномиальному закону.

1. Случайная величина - число появлений события в n независимых испытаниях:

X=m, D(X=m)=npq;

2. Случайная величина - частотa появлений события в n независимых испытаниях:

Пример 6.1. Средняя дневная выручка торгового предприятия составляет 300 д.е. Оценить вероятность того, что она завтра будет больше 400 д.е.

Решение. Для случайной неотрицательной величины X - выручки торгового предприятия, справедлива лемма Чебышева. Так как средняя дневная выручка торгового предприятия 300 д.е., то M(X)=300 и, следовательно: Р(Х>400)300/400=0,75.

Пример 6.2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что прибыль предприятия в следующем месяце будет не менее 29,95 д.е. и не более 30,05 д.е., если ее средняя ежемесячная величина 30 д.е., а среднее квадратическое отклонение составляет 0,02.

Решение. Случайная величина X - прибыль предприятия.

Неравенство Чебышева:

Пример 6.3. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить наименьшее количество независимых испытаний, которое следует провести, чтобы с вероятностью не меньшей 0,85 частость события отличалась от вероятности события не более чем на 0,01.

Решение. Введем обозначения А - событие, вероятность его наступления в каждом испытании - Р(А)=р, противоположного события - = 1 - р. Рассмотрим случайную величину X - частость появлений события в n независимых испытаниях.

По условию задачи:

Используем неравенство Чебышева:

Следовательно, наименьшее количество независимых испытаний, которое следует провести, составляет n=16667.

Пример 6.4. Вероятность того, что в магазине имеется требующийся покупателю товар, равна 0,6. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 1000 посетителей число таких, которые найдут в магазине нужный им товар, будет не менее 550 и не более 630? Как нужно изменить правую границу указанного интервала, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.

Решение. Событие А - состоит в том, что наудачу выбранный посетитель магазина, найдет в магазине нужный товар. Для всех посетителей вероятность данного события одинакова. P(A)=0,6 = р; P( )=0,4=q. Имеют место независимые повторные испытания. Рассмотрим случайную величину X - число посетителей магазина, которые найдут в магазине нужный товар:

X=m, M(X)=np=1000*0,6=600, D(X=m)=npq=1000 0,6 0,4 = 240.

Неравенство Чебышева имеет вид:

Оно не может быть использовано для оценки вероятности того, что из 1000 посетителей число таких, которые найдут в магазине нужный им товар, будет не менее 550 и не более 630, так как указанный интервал не является симметричным относительно математического ожидания рассматриваемой величины: 600-50m600+30. Изменив правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным, получаем:

7. СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Интегральной функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<x и Y<y:

Свойства интегральной функции:

1. F(x, y) есть неубывающая функция обоих своих аргументов.

2. F(x. -)=F(-, y)=F(-, -)=0.

3. F(x, +)=F1(x) – функция распределения СВ Х; F(+, y)=F2(y) – функция распределения СВ Y.

4. F(+, +)=1.

Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник X< и Y<:

Плотность распределения системы двух случайных величин представляет собой вторую частную смешанную производную функции F(x,y) по x и y:

Свойства плотности распределения:

1. f(x,y)0.

2. 

3. 

4. - плотность распределения СВ Х;

- плотность распределения СВ Y.

5. Условные законы распределения:

Для зависимых СВ X иY

Для независимых СВ X и Y

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Начальный момент:

Центральный момент:

	Дискретные СВ	Непрерывные СВ

Пример 7.1. Система двух случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

Найти функцию распределения F(x,y). Определить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат 0x<1, 0y<1. Определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Решение.

Учебная литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997.

4. Гмурман Д.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.

6. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

7. Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: Мир, 1990.

2