Алгебра. Определители 2 и 3

a

x

a

x

b

11

1

12

2

1

(1)

a

b

a

x

x

21 1

22 2

2

Допустим,

что

система (1)

имеет решение (x0

, x0 ) . Тогда имеем два верных

1

2

тождества:

a x0

a x0

b

a

a

11

1

12

2

1

22

21

a x0

a x0

b

a12

a11

21

1

22

2

2

Умножим первое тождество на a22 , второе на a12

и сложим. Затем умножим первое

тождество на a21 , второе на a11

и сложим. Получим тождества:

( a a a a

) x

0

= b a b a

11

22

21

12

1

1

22

2

12

(2)

( a a a a

) x0

= b a b a

11

22

21

12

2

1

21

2

11

a

b

- произвольная матрица 2-го порядка. Определителем матрицы А

Пусть A

c

d

называется число, равное

a d b c . Определитель матрицы А обозначается

A

, либо

b

det A , либо

a

.

c

d

a

b

ad bc .

c

d

Нетрудно видеть, что в данных обозначениях тождества (2) примут вид:

a11

a12

x0

b1

a12

,

a21

a22

1

b2

a22

a11

a12

a11

b1

x0

a21

a22

2

a21

b2

Обозначим

a11

a12

,

b1

a12

,

a11

b1

2

. Тогда

a21

a22

b2

a22

1

a21

b2

x0

,

x0

2

.

Если

0 , то из данных формул однозначно определяются

1

1

2

x0

, x0 .

1

2

x

x

2

a11

a12

,

b1

a12

a11

b1

1

,

, где

,

.

2

1

2

a21

a22

b2

a22

1

a21

b2

Если 0

, подставим x

1 , x

2 в систему (1) и умножим на .

1

2

1-ое равенство: a11 (b1a22 b2a12 ) a12 (b2a11 b1a21 ) b1 (a11a22

a21a12 ) .

Раскрывая

скобки, видим,

что равенство

верное.

Аналогично, получим,

что

x 1

,

x 2

1

2

удовлетворяет второму уравнению системы (1). Следовательно,

x

1 , x

2

решение

1

2

5

-3

1=

= 5*6 – (-3)*3 = 39

3

6

2

5

2=

= 2*3 – 5*1 = 1

1

3

a

a

a

11

12

13

Определителем матрицы a21

a22

a23

называется число, которое обозначается

a32

a33

a31

a11

a12

a13

a21

a22

a23

и равно

a31

a32

a33

a11 a22 a33+a12

a23 a31 +a13 a21 a32- a13 a22 a31- a12 a21 a33 -a11 a23 a32

« + »

« - »

Например,

2

3

2

1

2

4

2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 1) ( 2) 1 2 ( 2) ( 2) ( 1) ( 3) 1 3 2 4 2 =

1

2

3

a11

a12

a13

Пусть A a

a

a

матрица системы

из трех

неизвестных

с тремя

21

22

23

a32

a33

a31

a11

a12

a13

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

уравнениями,

a21

a22

a23

,

1

b2

a22

a23

, 2

a21

b2

a23

, 3

a21

a22

b2

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

Если 0 , то система имеет единственное решение,

которое находится по

1

2

3

формулам x1 = , x2 =

, x3 =

.

Доказательство. Пусть

0

и ( 1, 2 , 3 ) - решение системы. Следовательно, имеем

три верных тождества:

a

a

a

b

11

1

12

2

13

3

1

a21 1

a22 2 a23 3 b2

a

1

a

2

a

3

b

31

32

33

3

a22

a23

a13

a12

a13

Умножим первое тождество на

, второе на

a12

, третье на

.

a32

a33

a32

a33

a22

a23

Умножим первое тождество на

a21

a22

, второе на

a11

a12

, третье на

a11

a12

.

a31

a32

a31

a32

a21

a22

1

2

3

x1 = ,

x2 =

, x3 =

.

И обратно,

подставив x1 =

1

2

3

в систему,

убедимся, что

,

x2

=

,

x3

=

1

2

3

(

,

,

) – решение системы.

Например,

a

1

a

2

a

3

1

(a (b a a b a

a b a a b a a b a a

b a a

)

11

12

13

11

1

22

33

1

23

32

2

12

33

2 13

32

3

12

23

3 13

22

a12 ( b1a21a33 b1a23a31 b2a11a33 b2a13a31 b3a11a23 b3a13a21 )

a13 ( b1a22a31 b1a21a32 b2a12a31 b2a11a32 b3a12a21 b3a11a22 ))

1

(b a a a b a a

a b a a a b a a a b a a a

b a a a

23

22

1

11

22

33

1

11

23

32

2

11

12

33

2

11

13

32

3

11

12

3

11

13