Показатели формы распределения
К показателям формы распределения относятся показатели асимметрии распределения и показатели крутизны распределения. Для определения показателей распределения используются моменты распределения.
Моменты распределения
Моментом k-го порядка (Mk) называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов x от некоторой постоянной величины A:
В зависимости от выбранной постоянной величины A моменты делятся на
начальные моменты,
условные моменты,
центральные моменты.
Начальные моменты
Моменты называются начальными, если A = 0.
Порядок момента определяется значением k. Практически используются начальные моменты первых четырёх порядков.
При
k
= 0 получается начальный момент нулевого
порядка (
,
при
k
= 1 начальный момент первого порядка (
(равен средней арифметической)
при
k
= 2 начальный момент второго порядка (
)
и т.д. Практически используются начальные моменты первых четырёх порядков.
Условные моменты
Моменты
называется условными,
или начальными
относительно
(
),
если A
равно некоторой неравной 0 произвольной
величине. Она называется началом отсчёта.
При
k
= 0 получается начальный момент относительно
(
)
при
k
= 1 начальный момент относительно
(
)
,
при
k
= 2 начальный момент относительно
(
)
и т.д.
Формулу начального момента первого порядка можно упростить:
Если из последней формулы выразить среднюю арифметическую, то она будет равна сумме условного момента первого порядка и начала отсчёта.
Центральные моменты
Моменты
называются центральными
(
),
если A
равно некоторой постоянной величине,
равной средней арифметической.
При
k
=
0 получается центральный момент нулевого
порядка (
)
,
при
k
= 1 получается центральный момент первого
порядка (
)
,
при
k
= 2 получается центральный момент второго
порядка (
)
(равен дисперсии)
при
k
= 3 получается центральный момент третьего
порядка (
)
и т.д.
Показатели асимметрии распределения
Для вычисления показателя асимметрии распределения используется центральный момент третьего порядка
Чтобы
показатель асимметрии не зависел от
выбранного при измерении масштаба,
вводится нормированный
момент третьего порядка
или коэффициент
асимметрии
(
)
– отношение центрального момента
третьего порядка к среднему квадратическому
отклонению, возведённому в третью
степень.
Если r3 = 0, то вариационный ряд симметричен; если r3 > 0, то асимметрия положительная (имеет место правосторонняя скошенность); если r3 < 0, то асимметрия отрицательная (имеет место левосторонняя скошенность).
Правосторонняя скошенность означает, что в вариационном ряду преобладают варианты, которые больше, чем средняя. Левосторонняя скошенность означает, что в вариационном ряду преобладают варианты, которые меньше, чем средняя.
Также, в качестве показателя асимметрии используется коэффициент асимметрии Пирсона.
Коэффициент асимметрии Пирсона (As) – отношение разности между средней арифметической и модой к среднему квадратическому отклонению.
Если As = 0, то вариационный ряд симметричен; если As > 0, то асимметрия положительная (имеет место правосторонняя скошенность); если As < 0, то асимметрия отрицательная (имеет место левосторонняя скошенность).