- •Общие понятия теории моделирования
- •Цели моделирования
- •Общая классификация моделей
- •Классификация идеальных моделей
- •Логико-математические модели
- •Компьютерные модели
- •Модель динамико-биологических популяций
- •Математическое моделирование химических процессов
- •Незатухающие колебательные процессы в химии
- •Затухающие колебания в химических процессах
- •Моделирование движения маятника
- •Вводная к лабораторной работе №1
- •Качественная теория динамических систем
- •Тримолекулярная модель (брюсселлятор)
- •Не существует
Качественная теория динамических систем
Качественная теория динамических систем предполагает, что исходная система дифференциальных уравнений (второго порядка) уже линеаризована в окрестности одной из своих особых точек.
Предположим, мы нашли особую точку для какой-либо и системы и линеаризовали систему в окрестности этой точки. Наша линеаризованная система имеет вид:
Представим систему в матричном виде: слева столбец производных, а справа – столбец свободных членов
Делаем вывод, что данная система всегда имеет тривиальное решение . Система будет иметь нетривиальное решение, если определитель матрицы будет равен нулю, т. е. когда .
Составим для исходной системы характеристическое уравнение . Распишем это уравнение:
Найдём корни этого характеристического уравнения:
Новый термин: трек – это сумма элементов главной диагонали, обозначение – .
Тип особых точек исследуемой линеаризованной системы определяется корнями характеристического уравнения.
Выполнить отчёты по всем лабораторным работам с обложкой “Контрольная работа” |
26.04.2012 Лекция |
Опишем всевозможные результаты корней:
=> корни вещественные, неотрицательные и различные, а фазовые траектории – параболы
=> корни положительные. Особая точка типа “узел” является неустойчивой, т. е. с течением времени
=> корни отрицательные. Особая точка типа “узел” является устойчивой
=> корни вещественные и равные. В этом случае особая точка – это вырожденный узел – дикритический узел (на фазовой плоскости имеем семейство двойных парабол относительно , как в случае 1, и относительно )
=> корни вещественные и различные по знаку. Особая точка – седло, фазовые траектории имеют форму гипербол.
=> корни комплексно-сопряжённые,
=> => имеем особую точку типа устойчивый фокус. Фазовые траектории в виде спиралей, приближающихся к особой точке
=> => имеем неустойчивый фокус, спирали отдаляются от особой точки
, => имеем чисто комплексные корни. Особая точка типа центр, фазовые траектории имеют форму эллипсов
=> хотя бы один из корней равен нулю. Особые точки заполняют одну из координатных осей, фазовые траектории – прямые. Особые точки здесь безымянные.
Водозабор исследования особых точек:
Провести следующее компьютерное исследование:
Задана линеаризованная система дифференциальных уравнений. Подобрать значения коэффициентов матрицы системы так, чтобы получить начало координат как особую точку заданного типа (всех рассмотренных типов с 1-го по 6-й) и в каждом случае построить фазовые траектории.
Замечание: все фазовые точки имеют силу только вблизи к началу системы координат. Иными словами, начальное условие должно задаваться вблизи к началу координат. Для особых точек каждого типа понятие близости к началу координат различается.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Катермина Татьяна Сергеевна |
07.09.2012 Лекция |
Вторую половину курса ведёт Татьяна Сергеевна! Ура!
САМООРГАНИЗАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУР.
РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ.
Точечные модели – это модели, в которых искомые величины зависят только от времени (это все модели, рассмотренные ранее).
Распределённые модели – это модели, в которых величины меняются не только во времени, но и в пространстве.
В дальнейшем будут рассмотрены системы, в которых могут возникать устойчивые пространственные неоднородные связи, возникающие в результате развития неустойчивостей в однородной диссипативной среде (в среде, которая не получает энергии из вне). Такие структуры принято называть диссипативными. В 1952-ом году Алан Тьюринг основал теорию диссипативных сред.
Базовая модель теории распределённых или диссипативных систем описывается следующей системой уравнений:
и – это, кроме всего прочего, ещё и функции, описывающие процессы в распределённых системах
и – это функции среды
и – скорости распределения возмущений по осям и соответственно
– величина, равная радиальной координате, .
Иногда данные уравнения называют распределёнными или диффузионными.
Эта модель описывает процессы самопроизвольного возникновения и распространения волн в распределённых системах, которые также называются процессами самоорганизации.
Автоволны – это периодические самоподдерживающиеся волны или активности. В зависимости от видов функций , , в системе могут возникать следующие типа поведения и самоорганизации.
<вставить рисунки сюда>
5 – Стационарное неоднородное распределение переменных в пространстве диссипативной структуры.
6 – Генерация волн автономным источником импульсной активности. В качестве такого источника могут быть локальные возмущения переменных.
Общим условием развития процессов самоорганизации является появление неустойчивости в исходной распределённой системе. Такие неустойчивости могут возникнуть, если отклонение от состояния равновесия превышает критическое. В частности, такие неустойчивости могут возникнуть в системах с особой точкой типа “седло”, а “неустойчивый узел” может вызвать даже возникновение бегущих волн конечной амплитуды или стоячих волн.
Диссипативная структура, возникающая в результате неустойчивости, в реальном мире может поддерживаться за счёт постоянного притока энергии и вещества. Например, стоячие волны.
Для возникновения диссипативных структур нужно, чтобы уравнение, описывающее процессы в системе, были нелинейными. Кроме того, процессы в системе должны протекать согласовано. Изучением таких систем занимается синергетикой – междисциплинарная область или наука.