- •Министерство образования и науки украины одесский национальный университет имени и.И. Мечникова институт инновационного и последипломного образования
- •Глава 1 числовые функции одного действительного переменного
- •§1. Область определения функции
- •Ограниченные числовые множества
- •1.2. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •1.3. Предельные точки множества
- •§ 2. Способы задания функции
- •2.1. Табличный способ задания функции
- •2.2. Графический способ задания функции
- •2.3. Аналитический способ задания функции
- •2.4. Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции
- •2.5. Параметрическое задание функции
- •§3. Обратная функция для аналитически заданной функции
- •§4. Элементарные функции и их классификация
- •4.1. Основные (простейшие) элементарные функции
- •4.2. Элементарные функции
- •4.3. Ограниченные функции
- •Если f(p) является ограниченным (или неограниченным) множеством, то говорят, что функция f(X) ограничена (или неограничена).
- •4.4. Монотонные функции
- •4.5. Четные и нечетные функции
- •4.6. Периодические функции
- •§5. Предел числовой последовательности
- •5.1. Определение и геометрическое истолкование предела последовательности
- •Постоянная последовательность {yn} имеет пределом число и является сходящейся последовательностью.
- •5.2. Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел
- •5.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •5.4. Бесконечно большие последовательности и их свойства
- •5.5. Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел
- •5.6. Неопределенные арифметические выражения
- •5.7. Неопределенные степенно-показательные выражения
- •5.8. Монотонные последовательности
- •5.9. Принцип сходимости последовательности
- •Упражнения
- •§6. Предел числовой функции одного действительного переменного
- •6.1. Определение и геометрическое истолкование предела функции
- •6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции
- •6.3. Распространение теории пределов
- •6.4. Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений
- •§7. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций одного действительного переменного
- •7.1. Сравнение бесконечно малых
- •Наоборот, бесконечно малые
- •Будут, очевидно, высшего порядка, чем х.
- •7.2. Классификация бесконечно больших
- •Упражнения
- •§8. Непрерывность (и разрывы) функции одного действительного переменного
- •8.1. Определение непрерывности функции в точке
- •8.2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке
- •8.3. Равномерная непрерывность
- •8.4. Разрывы функции. Классификация разрывов
- •Например, рассмотрим функцию
- •8.5. Арифметические операции над непрерывными функциями
- •8.6. Непрерывность и разрывы монотонной функции
- •8.7. Непрерывность сложной функции
- •8.8. Непрерывность элементарных функций
- •8.9. Общие свойства непрерывных функций
- •Упражнения
8.6. Непрерывность и разрывы монотонной функции
Рассмотрим функцию f (x), которая, – при изменении х в промежутке Р – монотонно возрастает (убывает) хотя бы в широком смысле (гл.1, §4, п.4.4). По отношению к таким функциям имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Монотонно убывающая (возрастающая) функция f(x) может иметь в Р разве лишь разрывы первого рода, т.е. скачки.
Возьмем любую точку х0 промежутка Р, и пусть она не является левым концом этого промежутка. Рассматривая ту часть промежутка, которая лежит влево от х0, применим к ней теорему 12 из §6, п.6.3 о пределе монотонной функции: поскольку для х < х0, очевидно, f (x) ≤ f (x0), то существует конечный предел .
Если он совпадает со значением f (x0), то слева в точке х0 функция непрерывна; в противном случае – налицо скачок.
Аналогично убеждаемся в том, что в каждой точке х0 промежутка Р (не служащей правым его концом) справа тоже либо имеет место непрерывность, либо скачок.
С помощью доказанной теоремы легко установить критерий непрерывности монотонной функции.
Теорема 2. Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке Р функции f (x) содержатся в промежутке Е и сплошь заполняют его (так что каждое значение у из Е принимается функцией хоть раз), то эта функция непрерывна в Р.
Допустим, что в какой-нибудь точке х0 из Р функция f (x) имеет разрыв, например, слева; как мы видели, этот разрыв может быть только скачком. В этом случае существует предел f (x0 – 0), но он меньше значения f (x0). Так как для будет а для очевидно, то функция не может принимать значений у, лежащих между числами и f (x0), принадлежащих промежутку Е. Это противоречит условию теоремы; значит, функция разрывов не имеет.
8.7. Непрерывность сложной функции
Теорема. Пусть функция (у) определена в промежутке Е, а функция f (х) – в промежутке Р, причем значения последней функции не выходят за пределы Е, когда х изменяется в Р. Если f (х) непрерывна в точке х0 из Р, а (у) непрерывна в соответствующей точке у0 = f (х0) из Е, то и сложная функция [f (х)] будет непрерывна в точке х0.
Доказательство. Зададимся произвольным числом > 0. Так как (у) непрерывна при у = у0, то по найдется такое > 0, что из у – у0 следует
(у) – (у0) .
С другой стороны, ввиду непрерывности f (x) при х = х0, по найдется такое > 0, что из х – х0 следует f (x) – f (x0) = у –у0 .
По самому выбору числа отсюда следует далее
.
Этим "на языке " и доказана непрерывность функции в точке х0.
8.8. Непрерывность элементарных функций
Прежде рассмотрим основные элементарные функции, непрерывность которых можно установить, пользуясь теоремой 2 (гл.1, §8, п.8.6).
1. Показательная функция. Функция у = ах либо монотонно возрастает (а > 1), либо монотонно убывает (0 < а < 1) при изменении х в промежутке Р = (–∞,+∞). Ее значения положительны и заполняют весь промежуток Е = (0,+∞), что видно из существования логарифма x = loga y для любого y > 0. Следовательно, показательная функция непрерывна при любом значении х.
2. Логарифмическая функция у = loga х (а > 0, а 1). Ограничиваясь случаем а > 1, видим, что эта функция возрастает при изменении х в промежутке Р = (0,+∞). К тому же она, очевидно, принимает любое значение у из промежутка Е = (–∞, +∞), именно, для х = ау. Отсюда ее непрерывность.
3. Степенная функция у = х при возрастании х от 0 до + возрастает, если 0, и убывает, если 0. При этом она принимает любое положительное значение у , следовательно, и она непрерывна. Отметим, что если 0, то значение 0 включается как в промежуток изменения х, так и в промежуток изменения у; при 0 значение 0 не включается. Далее, если – целое число п или дробное с нечетным знаменателем, то степень х можно рассматривать и для х 0; непрерывность ее для этих значений устанавливается аналогично.
4. Тригонометрические функции. Остановимся сначала на функции sin х. Непрерывность функции y = sin x, скажем, при изменении в промежутке , вытекает из ее монотонности в этом промежутке (гл.1, §4, п.4.4), да еще из того факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое значение между –1 и +1. То же относится и к любому промежутку вида
, где k = 0, ±1, ±2, ....
Аналогично устанавливается и непрерывность функции cos x при любом значении х.
Отсюда, по теореме (гл.1, §8, п.8.5) вытекает непрерывность функций
.
Исключение представляют для первых двух – значения вида , обращающие cos x в 0, а для последних двух – значения вида k, обращающие sin x в 0.
5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin x, у = arcсоs x, у = arctg x, у = arcсtg x. Первые две непрерывны в промежутке [–1,+1], а последние – в промежутке (–, +). Доказательство предоставляем провести самостоятельно.
Резюмируя, можно, таким образом, сказать, что основные элементарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они имеют смысл (т.е. в соответствующих естественных областях их определения).
Исходя из этого, теперь, на основании теорем (гл.1, §8, п.8.5) и (гл.1, §8, п.8.7), мы можем заключить, что и все элементарные функции, построенные из непрерывных основных элементарных функций, также будут непрерывны.