- •Министерство образования и науки украины одесский национальный университет имени и.И. Мечникова институт инновационного и последипломного образования
- •Глава 1 числовые функции одного действительного переменного
- •§1. Область определения функции
- •Ограниченные числовые множества
- •1.2. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •1.3. Предельные точки множества
- •§ 2. Способы задания функции
- •2.1. Табличный способ задания функции
- •2.2. Графический способ задания функции
- •2.3. Аналитический способ задания функции
- •2.4. Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции
- •2.5. Параметрическое задание функции
- •§3. Обратная функция для аналитически заданной функции
- •§4. Элементарные функции и их классификация
- •4.1. Основные (простейшие) элементарные функции
- •4.2. Элементарные функции
- •4.3. Ограниченные функции
- •Если f(p) является ограниченным (или неограниченным) множеством, то говорят, что функция f(X) ограничена (или неограничена).
- •4.4. Монотонные функции
- •4.5. Четные и нечетные функции
- •4.6. Периодические функции
- •§5. Предел числовой последовательности
- •5.1. Определение и геометрическое истолкование предела последовательности
- •Постоянная последовательность {yn} имеет пределом число и является сходящейся последовательностью.
- •5.2. Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел
- •5.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •5.4. Бесконечно большие последовательности и их свойства
- •5.5. Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел
- •5.6. Неопределенные арифметические выражения
- •5.7. Неопределенные степенно-показательные выражения
- •5.8. Монотонные последовательности
- •5.9. Принцип сходимости последовательности
- •Упражнения
- •§6. Предел числовой функции одного действительного переменного
- •6.1. Определение и геометрическое истолкование предела функции
- •6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции
- •6.3. Распространение теории пределов
- •6.4. Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений
- •§7. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций одного действительного переменного
- •7.1. Сравнение бесконечно малых
- •Наоборот, бесконечно малые
- •Будут, очевидно, высшего порядка, чем х.
- •7.2. Классификация бесконечно больших
- •Упражнения
- •§8. Непрерывность (и разрывы) функции одного действительного переменного
- •8.1. Определение непрерывности функции в точке
- •8.2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке
- •8.3. Равномерная непрерывность
- •8.4. Разрывы функции. Классификация разрывов
- •Например, рассмотрим функцию
- •8.5. Арифметические операции над непрерывными функциями
- •8.6. Непрерывность и разрывы монотонной функции
- •8.7. Непрерывность сложной функции
- •8.8. Непрерывность элементарных функций
- •8.9. Общие свойства непрерывных функций
- •Упражнения
6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции
Если область определения Р функции f(x) такова, что в любой близости от х0, но справа от х0, найдутся отличные от х0 значения х из Р (в этом случае точку х0 называют правой точкой сгущения для Р), то можно специализировать только что данные определения предела функции, ограничившись лишь значениями . В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции f(x) при стремлении х к х0 справа, или, короче, пределом (в точке х0) справа и обозначается символом .
Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к х0 слева или о пределе (в точке х0) слева: .
Если точка х0 является одновременно точкой сгущения для Р и правой, и левой, то, как легко установить, для существования предела (1.13) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов справа и слева:
= = . (1.14)
Когда х0 = 0, вместо 0 + 0 (0 – 0) пишут +0 (–0).
При стремлении х к конечному пределу х0 функция может иметь и бесконечный предел (без знака или определенного знака).
Определение 1. Функция f(x) имеет пределом при стремлении х к х0 (в точке х0), если для каждого числа найдется такое число , зависящее от , что
, лишь только (1.15)
(где, как и всегда, х взято из Р и отлично от х0).
Если при этом функция f(x) для достаточно близких к х0 значений х сохраняет положительный (отрицательный) знак, так что первое из неравенств (1.15) может быть заменено более узким: f(x) (f(x) ), то говорят о пределе +∞ (–∞).
Запись этих фактов аналогична (1.13): .
Для рассмотренного случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева.
Если множество Р содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) значения х (множество Р неограниченно), то говорят, что является точкой сгущения для Р. В этом предположении дадим следующее определение.
Определение 2. Функция f(x) при стремлении х к ∞ имеет предел , если, каково бы ни было число , для него существует такое число , зависящее от , что
, лишь только , (1.16)
(где х берется из Р). При этом пишут: .
Если рассматриваются лишь положительные (или лишь отрицательные) значения х, то говорят о пределе функции при стремлении х к + (или к –).
Наконец, легко перефразировать все сказанное на случай , + или –.
При стремлении функции f(x) к нулю ее называют бесконечно малой; ее называют бесконечно большой, если f(x) стремится к . Если последнее обстоятельство имеет место при х х0, то говорят также, что в точке х0 функция обращается в бесконечность.
Пример 1. Рассмотрим функцию
Очевидно, .
Отсюда, на основании (1.14), можно заключить, что не существует.
Пример 2. Докажем, что (при а 1.
При любом достаточно взять loga , чтобы х > влекло за собой ах , что и доказывает наше утверждение.
Аналогично доказывается, что (при а 1.
Именно, каково бы ни было , если взять , то при необходимо .
Если же 0 < а < 1, то с помощью преобразования легко установить результаты
(при 0 < а < 1).
Основываясь на этих случаях, можно показать, что (при а > 0 и а 1) и, следовательно, функция f(x) = ах при х является бесконечно большой. Однако, если х – (при а > 1) и х + (при 0 < а < 1), то функция f(x) = ах является бесконечно малой.
Пример 3. Руководствуясь примером 2, легко установить, что:
(при а > 1); (при 0 < а < 1);
(при а > 1); (при 0 < а < 1).
Следовательно, функция (при а > 0 и а 1) при х + и х +0 является бесконечно большой, т.е. и .
Пример 4. Показать, что функция при х 0 является бесконечно большой, т.е. .
Пусть задано . Найдем такую - окрестность нуля, что при всех х из этой окрестности (х 0) выполняется неравенство .
Рассмотрим неравенство . Из этого неравенства следует:
.
Положив , получим, что, как только , имеем , а это значит, что ∞.
Заметим, что ; . Однако несмотря на это условие (1.14) для существования предела в точке х0 = 0 считается выполненным ∞.