18.5. Розрахунок валів на коливання

Під дією зовнішніх сил, які діють постійно або періодично змінюються і зв’язані із пружною деформацією, виникають коливання валів. Якщо частота коливання валів досягає будь-якої власної частоти, наступає резонанс системи, і навіть незначні коливання навколо положення рівноваги стають небезпечними для роботоздатності вала. На практиці спостерігаються крутильні (кутові), згинальні (поперечні) і згинально-крутильні коливання.

1 8.5.1. Крутильні коливання виникають в валах поршневих машин (двигунах внутрішнього згорання, поршневих компресорах і т.п.) і зв’язані із нерівномірністю в часі обертового моменту або моменту опору. Основною задачею розрахунку крутильних коливань є визначення власних частот системи для виявлення резонансних обертів.

Р

Рис. 18.10. Розрахункова схема крутильних коливань вала

озглянемо одномасову систему, яка складається із вала постійного перерізу і закріпленого на ньому диска (рис. 18.10). Рівняння руху – обертання диска при відхилені його від положення рівноваги на кут має такий вид:

(18.14)

де J_m - момент інерції маси диска, кгсм²;  - кут повороту, рад.; Т - момент, який діє на диск, Нм.

Знак - в рівнянні (18.14) вказує на те, що момент Т створюється силами пружності, що перешкоджає відхиленню. Якщо жорсткість вала позначити через с, причому ця величина являє собою момент в Нсм необхідний для закрутки вала на 1 рад., то

(18.15)

Із урахуванням рівняння (18.15) із рівняння (18.14) одержуємо:

Загальний інтеграл цього рівняння має такий вид:

(18.16)

де р - колова частина коливань, с^-1;

(18.17)

Довільні постійні А і В визначають із вихідної умови.

Якщо в момент t = 0,   а, , то

(18.18)

де а - амплітудне значення кута повороту при коливаннях.

Момент інерції J_m для диска:

кгм² (18.19)

де М - маса диска, кг.

Для деталей складної форми момент інерції визначають експериментально.

Жорсткість прямолінійного вала

(18.20)

де - модуль пружності матеріалу на зсування, для сталей G = (0,78...0,83)10⁵ МПа; J_р - полярний момент інерції перерізу, для суцільного вала якщо переріз послаблено шпонковим пазом або шліцами, то (h - глибина канавки; k = 0,5 - для одного шпонкового пазу, k = 1 - для двох шпонкових пазів, розміщених під кутом 90^, k = 1,2 - для двох шпонкових пазів, розміщених під кутом 180, k = 1,8 - для шліцьових валів).

18.5.2. Згинальні коливання зв’язані з деформацією згинання стержнів, наприклад, такі коливання мають осьові компресори, лопатки турбін тощо.

Р озглянемо одномасову систему, яка являє собою коливання вантажу на невагомому стержні (рис.18.11).

Рівняння руху маси m:

Рис. 18.11. Розрахункова схема згинальних коливань одномасної системи деталей вала

(18.21)

де F - сила пружності;

(18.22)

де  - прогин балки в місці прикладання вантажу під дією одиничної сили, так званий коефіцієнт податливості.

Із рівняння (18.21) одержуємо:

(18.23)

Вирішив рівняння, знайдемо формулу для визначення колової частоти згинальних коливань р:

(18.24)

Це рівняння справедливе для будь-якої одномасової системи; вантаж може бути розміщеним між опорами або консольно - різниця лише в величині .

Рішення рівняння (18.23) при довільних вихідних умовах буде таким:

(18.25)

де у₀ - амплітуда коливань;  - зсув фази, який залежить від початкових умов.

Якщо підставити рішення (18.25) в рівняння (18.23), то одержимо:

(18.26)

Це рівняння аналізується так: сила пружності дорівнює інерційному навантаженню , тобто другими словами – амплітудний прогин у₀ викликається силою р²mу₀.

1 8.5.3. Критичні частоти обертання валів. Розглянемо вал на двох опорах з диском посередині (рис. 18.12), який обертається із кутовою швидкістю . Нехай вал одержить деяке відхилення і центр тяжіння почав рухатися по колу радіусом у. Тоді на диск буде діяти відцентрова сила С і сила пружності F:

(14.27)

д

Рис. 18.12. Вал на двох опорах з диском посередині

е m - маса диска;  - прогин середнього переріза вала від дії одиничної сили для вала постійного перерізу:

(18.28)

Якщо С  F, то після відхилення вал знову вернеться в початкове положення, тобто прямолінійне положення осі є стійким.

В момент рівноваги, тобто в момент початку втрати стійкості, коли С  F, прогини можуть необмежено зростати. В цьому випадку відцентрові сили у відхиленому положенні дорівнюють силам пружності, які намагаються вернути вал у вихідний стан. Частоти обертання, при яких наступає рівність відцентрових сил і сил пружності, називається критичними.

При критичному значенні  величина С = F, звідки:

(18.29)

Можна вважати, що при критичній частоті обертання _кр вал повністю втрачає жорсткість на згинання; навіть дуже мала сила може визвати значні прогини.

Із рівняння (18.29) виходить, що критична кутова швидкість _кр співпадає із коловою частотою згинальних (поперечних) коливань р. Цей висновок справедливий і в загальному випадку, якщо деталі, що закріплені на валі, розглядають як точкові маси.

В дійсності прогини при  = _кр залишаються конечними, так як завжди існують обмеження (защемлення в підшипниках, тертя тощо), і, крім того, при великих деформаціях порушується лінійна залежність між силою і переміщенням.

Однак, наближення кутової швидкості  до критичної _кр може бути небезпечним, і тому зону частот обертання від n = (0,7...1,3) n_кр не рекомендується використовувати для робочих режимів.

У всіх випадках бажано працювати із жорсткими роторами (валами) для яких   0,7_кр. Робота вала з одним диском можлива і при   _кр, але при цьому часто необхідно використовувати спеціальні демпфіруючи опори для проходження через критичні частоти і для заспокоєння вібрацій в за критичній області.

Якщо вал має декілька дисків, і відповідно декілька критичних кутових швидкостей _кр1, _кр2,...,_кр.п, то критичний стан наступає при співпаданні кутової швидкості  із будь-якою із критичних швидкостей.

Для стійкої роботи вала діапазон частот обертання

0,7_кр.і    1,3_кр.і (і = 1, 2,..., n)

рекомендується вимогами із робочих режимів.