7

Лабораторная работа № 1 Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата

При проведении расчетов необходимо уметь практически оценивать погрешности результата. Разумная оценка погрешности позволяет удерживать оптимальное количество знаков при вычислениях, оптимизируя трудоемкость расчетов. Абсолютная и относительная погрешности вычисляются непосредственно по формулам (1.2.1) и (1.2.2). Количество верных знаков определяется в соответствии с теоремами 1-3 параграфа 1.2.

Пример. Округляя заданное число до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Если, например, то Тогда Аналогично, если то Здесь при округлении числа использовано обычное правило округления по дополнению.

Погрешности арифметических операций вычисляются по формулам параграфа 1.3. При этом, например, погрешность суммы большого числа слагаемых, вычисленная по формуле (1.3.1), оказывается сильно завышенной. Поэтому часто применяют статистическую оценку погрешности суммы:

(Л1.1)

где - число слагаемых в сумме , то есть - номер десятичного разряда, до которого произведено округление. Формулу (Л1.1) используют при

Относительная погрешность разности двух положительных чисел, определяемая по формуле (1.3.3), может быть очень большой, особенно когда эти числа близки между собой. Чтобы избежать потери точности в этом случае часто используют преобразования типа преобразований суммы в произведение.

Пример. Найти алгебраическую сумму приближенных чисел и указать ее погрешность. (все знаки верные).

Начнем со слагаемых . Будем считать, что абсолютная погрешность каждого из них не превосходит половины единицы младшего оставленного разряда, то есть Тогда По формуле (1.3.1) , то есть абсолютная погрешность суммы не превосходит абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых. Сохраним в расчетах только один запасной знак и будем округлять все слагаемые до 0.01. Тогда Окончательный результат округляем до 0.1. При этом к вычисленной ранее абсолютной погрешности 0.05 добавляется погрешность округления также равная 0.05. Таким образом, окончательно Отсюда

Для оценки относительных погрешностей результата при умножении и делении формулы (1.3.4) используются редко. Обычно на практике выполняются условия и используется приближенное равенство

. (Л1.2)

Таким образом, практически при умножении и делении приближенных чисел их относительные погрешности складываются.

Пример. Высота и радиус основания цилиндра измерены с точностью до 0.5% и оказались равными 2.06 и 6.5 см. Какова предельная относительная и абсолютная погрешности при вычислении объема цилиндра?

. Число может быть записано с произвольно высокой точностью. Для и имеем Таким образом, результат содержит не более двух верных знаков. При вычислении сохраним один запасной знак, округляя все числа до трех знаков: Тогда

Погрешности вычисления значений функций подсчитываются по формулам (1.4.1) и (1.4.2). Если значения функций положительны, то для относительной погрешности можно использовать формулу

(Л1.3)

Для функции одной переменной легко можно определить допустимую погрешность аргумента по допустимой погрешности функции.

(Л1.4)

Для функции нескольких аргументов эта задача решается при введении дополнительного предположения – так называемого принципа равных влияний. При этом полагают, что в формуле (1.4.1) все слагаемые равны между собой, тогда

(Л1.5)

Пример. С каким числом верных знаков должен быть известен свободный член уравнения чтобы получить корни с четырьмя верными знаками?

Будем считать, что коэффициент в квадратном уравнении известен абсолютно точно. По формуле (1.4.2)

Если бы оба коэффициента влияли на точность корней, то можно было бы воспользоваться для вычисления принципом равных влияний. Однако в нашем случае известен точно, то есть и Вычислим

Тогда

Таким образом, для того чтобы получить корни с четырьмя верными знаками, необходимо в исходном уравнении задать не менее чем с тремя верными знаками.

Пример. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула где - длина стержня, -основание и высота поперечного сечения, - стрела прогиба, - нагрузка. С какой точностью следует измерить длину и стрелу , чтобы погрешность не превышала 5.5% при условии, что известна с точностью до 0.1%, величины известны с точностью до 1%,

Применение формулы (1.4.2) для относительной погрешности дает . По условию задачи известно, что Тогда По принципу равных влияний на долю и приходится по 0.7%. Тогда равно 0.7%, то есть надо измерять с точностью 0.7%=0.007, необходимо измерять точнее, Отсюда то есть