3.8. Основы корреляционного анализа

Одной из главных задач корреляционного анализа является установление зависимости (связи) между признаками (частота пульса, артериальное давление, показатель анализа крови) – случайными величинами. Пусть Х и У – случайные величины. Зависимость их друг от друга (если она существует) называется корреляционной зависимостью. Эта зависимость может быть установлена качественно – по форме корреляционного поля, и количественно – путем вычисления коэффициента корреляции. При установлении корреляционной зависимости экспериментально для каждого обследованного объекта получают соответствующие пары значений величин Х и У (например, роста и массы тела людей определенного пола и возраста):

Значения величины Х	х1	х2	х3	. . .	хn
Значения величины У	у1	у2	у3	. . .	уn

Объем выборки – n. Каждой паре значений (хi, уi) на плоскости хОу соответствует одна точка. Всего будет n точек.

О бласть на графике у(х), занятая этими точками, образует корреляционное поле. Разные виды таких полей показаны на рис. 11. Если форма корреляционного поля близка к кругу (рис. 11б), то связи между признаками Х и У нет. Если же корреляционное поле вытянуто (рис. 11а, 11в), то корреляционная связь между признаками Х и У есть, она тем сильнее, чем более вытянуто корреляционное поле.

По экспериментальным данным, для каждого значения признака Х можно найти .Зависимость _x = f(x) называется эмпирическим уравнением регрессии У на Х. Аналогично можно получить зависимость _у =  (у) – уравнение регрессии Х на У. Графики этих функций называются линиями регрессии. Если они представляют собой прямые, то корреляционная связь между признаками Х и У называется линейной и оценивается с помощью выборочного коэффициента корреляции r. Он равен:

r = .

Значения r по модулю не превышают 1, но могут быть как положительными, так и отрицательными:

–1  r  1 или  r   1.

При r = 0 линейная связь между Х и У отсутствует; при значениях  r  до 0,3 – связь слабая; от 0,3 до 0,7 – умеренная; от 0,7 до 1 – сильная; если  r   1 – связь полная или, иначе, функциональная – в этом случае существует функция Y = f(X), жестко связывающая значения Y и X.

При r > 0 связь между признаками Х и У прямая, т.е. с увеличением значений одного признака значения другого тоже увеличиваются; при r < 0 связь обратная, т.е. с увеличением значений одного признака, значения другого уменьшаются.

Пример 1. Х – рост, У –масса тела людей определенного пола и возраста. При работе с разными выборками для этих признаков r  0,9, т.е. связь между признаками сильная и прямая (с увеличением роста весьма вероятно увеличение массы тела).

Пример 2. Х – охват населения прививками по разным районам области некоторого региона, У – показатель заболеваемости (обычно на 10000 чел.). Здесь r  - 0,8; связь сильная и обратная: с увеличением охвата населения прививками вероятность заболевания уменьшается.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте зависимости между признаками, полученное по данным выборки, можно распространить и на генеральную совокупность. Например, для оценки коэффициента корреляции r_г нормально распределенной генеральной совокупности (при n  50) можно воспользоваться формулой.

< r_г < .