5.4. Показательное (экспоненциальное) распределение

Определение. Непрерывная случайная величина , плотность распределения которой задается формулой

называется показательной или экспоненциальной с параметром .

График плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины изображен на рисунке 1

Рис. 1.

В большом числе случаев показательное распределение описывает время безотказной работы прибора, при этом число интерпретируется как интенсивность отказа. Это распределение находит также широкое применение в демографии.

Свойства показательного распределения

Свойство 1. Интегральная функция распределения показательной случайной величины записывается в виде

.

Доказательство. Для того, что бы найти интегральную функцию распределения показательной случайной величины, воспользуемся свойством 3 дифференциальной функции распределения

.

Рассмотрим следующие два случая:

1. Если , то при . Поэтому

.

2. Если , то из свойства аддитивности определенного интеграла получаем

.

Из рассмотренных случаев следует, что интегральная функции показательно распределенной случайной величины записывается в виде

График интегральной функции показательно распределенной случайной величины изображен на рисунке 2

Рис. 2.

Свойство 2. Математическое ожидание случайной показательной случайной величины определяется по формуле

.

Доказательство. Вычислим математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины, воспользовавшись формулой

.

Откуда с учетом (1) получаем

.

Свойство 3. Дисперсия случайной величины показательной случайной величины определяется по формуле

.

Доказательство. Воспользовавшись формулой для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины

,

для равномерно распределенной случайной величины находим

. ●

Свойство 4. Среднее квадратическое отклонение случайной величины показательной случайной величины вычисляется по формуле

.

Доказательство. Так как среднее квадратическое отклонение

,

то среднее квадратическое отклонение для равномерно распределенной случайной величины находим

. ●

Пример 1. Случайная величина равномерно распределена на интервале .

Найти: а) дифференциальную функцию распределения и построить ее график;

б) интегральную функцию распределения и построить ее график;

в) числовые характеристики заданной случайной величины.