- •§ 5. Законы распределения случайных величин
- •5.1. Биномиальное распределение
- •Свойства биномиального закона распределения
- •5.2. Пуассоновское распределение
- •Свойства закона распределения Пуассона.
- •5.3. Равномерное распределение
- •Свойства равномерного распределения
- •5.4. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Свойства показательного распределения
- •5. 5. Нормальный закон распределения.
- •Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона.
- •Зависимость нормальной кривой от значений параметров закона и .
- •Функция Лапласа и ее свойства
- •Свойства функции Лапласа
- •Свойства нормального закона распределения
§ 5. Законы распределения случайных величин
В этом параграфе мы изучим некоторые конкретные случайные величины, часто используемые в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях.
5.1. Биномиальное распределение
Случайная величина с биноминальным законом распределения возникает в схеме Бернулли. Пусть проводится серия независимых испытаний, причем каждое испытание имеет два исхода: «событие появилось» или «событие не появилось». Вероятность появления события в каждом отдельном испытании равна .
Определение. Дискретная случайная величина , возможными значениями которой являются частоты появления события в независимых испытаниях , а вероятность соответствующих значений определяются по формуле Бернулли
называется биномиальной случайной величиной с параметрами и .
Таким образом, закон распределения биномиальной случайной величины можно записать в виде таблицы 1.
Таблица 1.
-
0
1
…
…
Свойства биномиального закона распределения
Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений биномиальной случайной величины равна единице, т.е.
.
Доказательство. Так как по определению биномиального закона распределения
,
то, согласно разложению степени бинома по формуле Ньютона, имеем
. ●
Из этого свойства вытекает название биномиального распределения вероятностей.
Свойство 2. Если частота возрастает то нуля до некоторого значения частоты , то вероятность соответствующих значений также возрастают до величины , а при дальнейшем возрастании частоты вероятности соответствующих значений убывают.
Доказательство. Выведем условия, при которых вероятности с ростом возрастают, т.е. удовлетворяют неравенству
или . (1)
Так как
; ,
то из равенства (1) получаем
,
откуда находим
(2)
Следовательно, при возрастании от нуля до вероятности соответствующих значений монотонно возрастают.
Аналогично выводим условие, при котором вероятности соответствующих значений с ростом убывают.
Если
,
то
. (3)
Так как
,
то
,
откуда находим
. (4)
Следовательно, при возрастании от до вероятности соответствующих значений монотонно убывают.
Таким образом, существует частота, которой соответствует наибольшая вероятность.
Определение. Частота, которой соответствует наибольшая вероятность при заданных параметрах и называется наивероятнейшей частотой.
Наивероятнейшую частоту обычно обозначают .
Свойство 3. Наивероятнейшая частота определяется из двойного неравенства
.
Доказательство. Из определения наивероятнейшей частоты получаем
и .
Согласно свойству 2, имеем
; (5)
. (6)
Объединив неравенства (5) и (6) получаем двойное неравенство для определения наивероятнейшей частоты
.
Если целое число, то наивероятнейшая частота принимает два значения:
или .
Если дробное число, то наивероятнейшая частота имеет единственное значение, которое равно целой части числа , т.е.
.
Из рассмотренных свойств биномиального закона распределения следует, что полигон распределения вероятностей биномиальной случайной величины имеет вид
дробное число
|
целое число |
Свойство 4. Числовые характеристики биноминальной случайной величины вычисляются по формулам
, , .
Доказательство. Математическое можно найти, пользуясь определением математического ожидания случайной величины, что приводит к громоздким вычислениям.
Более простой путь состоит в следующем. Свяжем с ым испытанием случайную величину , которая сможет принимать только два значения:
, если в ом испытании событие произошло, вероятность этого значения ;
, если в ом испытание событие не произошло, .
Так как испытания в схеме Бернулли независимы, то независимы случайные величины , причем закон распределения каждой из них имеет вид
-
0
1
Найдем математическое ожидание случайной величины
Найдем теперь дисперсию
.
Очевидно, частота наступления события в независимых испытаниях равна сумме рассматриваемых случайных величин .
.
Пользуясь свойством 4 математических ожиданий, получаем
Пользуясь свойством 4 дисперсии, находим
.
По определению среднего квадратического отклонения
.
Итак, доказано, что числовые характеристики частоты вычисляются по формулам:
, (7)
, (8)
. (9)
Следствие. Числовые характеристики относительной частоты вычисляются по формулам:
, , .
Доказательство. Воспользовавшись формулой 7 и свойством 2 математического ожидания, получаем
.
Из формулы 8 и второго свойства дисперсии, следует
.
Согласно определению среднего квадратического отклонения случайной величины, получаем
. ●