6.Приближенные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Цель работы

Целью работы является изучение численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В настоящей работе рассматриваются следующие методы нахождения корней уравнения :

• - Метод деления отрезка пополам.

• - Метод хорд.

• - Метод касательных (Метод Ньютона).

• - Метод итераций.

2. Примеры заданий

Найти корни уравнений :

1. x² - 0.5 + sin(x) =0;

2. 2 * sin(x) - x² + 0.3 * x = 0;

3. 0.1 * sin(x) + x³ - 1 = 0;

4. 0.1 * x² - x * Ln(x) = 0;

5. 0.1 * x³ - 2 * x² + x - 5 = 0;

6. x³ - 0.39 * x² - 10.5 * x + 11 = 0;

7. 1.3 - Ln(x) = 0;

8. 2.5 - 3 * sin(x + Pi / 4) = 0 ;

9. abs(x) + cos(x + Pi / 8) - 2.5 = 0.

Найти минимальный положительный корень :

10. sin(x) = P - q * x, 0 < P < 1, q < 1;

11. cos(x) = P + q * x, 0 < P < 1, q < 1.

Найти минимальный по модулю отрицательный корень :

12. cos(x) = P - q * x, 0 < P < 1, q > 0;

13. Ln(x) = P - q * x², P,q > 0.

3. Теоретические сведения

Пусть уравнение имеет вид f(x) = 0. Функция f(x) определена в некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b. Всякое значение x* обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения. При отыскании приближенных значений корней уравнения приходится решать две задачи :

- Отделение корней. Отыскиваются ограниченные области, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения.

- Вычисление корней с заданной точностью.

6.3.1Приемы отделения корней

При отделении корней уравнения полезны следующие теоремы:

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах промежутка a,b так, что f(a) * f(b) < 0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Корень x* будет единственным, если при выполнении условий, изложенных в предыдущей теореме, производная f '(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри a,b.

6.3.2Графический способ отделения корней

Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика y=f(x) с осью X. Eсли график y = f(x) построить затруднительно, то функцию f(x) можно представить в виде разности двух функций f(x) = f1(x) - f2(x), графики которых могут быть построены отдельно. Корни уравнения f(x) = 0 будут абсциссами точек пересечения этих графиков.

6.3.3 Аналитические методы отделения корней

Из теорем 1 и 2 следует, что, если на отрезке a,b функция f(x) непрерывна и моно- тонна, на концах имеет разные знаки, то уравнение f(x) = 0 внутри a,b имеет единственный корень.

Признаком монотонности функции f(x) на a,b является знакопостоянство ее первой производной на отрезке.

При аналитическом методе отделения корней функции f(x) нужно найти корни производной f '(x), которые укажут интервалы, подозрительные на содержание корней функции f(x). На концах этих интервалов проверяется условие первой теоремы. Если выполняется условие f(a) * f(b), то интервал содержит корень.

6.3.4Метод деления отрезка пополам

Дана функция f(x) непрерывная на отрезке a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) <= 0. Точка (a + b) / 2 разбивает начальный отрезок на два a, (a+b)/2 и (a+b)/2, b.

Отрезок , на концах которого функция имеет одинаковые знаки, отбрасываем, как не содержащий корень. Оставшийся отрезок обозначим a₁,b₁. Длина b₁ - a₁ = (b - a) / 2. На k-м шаге деления отрезка пополам его длина будет равна

b_k - a_k = (b_k - a_k) / 2 ^k.

При k  , lim(b_k - a_k)  0. Следовательно, при k  , lim a_k = lim b_k = x*, где символом обозначена бесконечность.

Процесс деления отрезка прекращается при условии, что

ABS(b_k - a_k) <= Eps и ABS(f((a_k + b_k)/2) )<= Eps,

где Eps - требуемая точность вычисления корня уравнения. В качестве приближенного значения корня принимается (a_k + b_k)/2.

Пример вычисления корня уравнения методом деления отрезка пополам в среде Mathcad показан в п. 6.5.1.

Процесс вычисления корня уравнения методом деления отрезка пополам показан на Рис. 6.1.а.

Рис. 6.1.а. Метод деления отрезка пополам