2.5. Способи зображення синусоїдальних величин

Існують методи зображення синусоїдальних величин у вигляді:

а) тригонометричних функцій ;

б ) графіків зміни функцій у часі;

в) векторів, що обертаються в декартовій площині;

г)комплексних чисел.

Способи а) і б) вже застосовувалися вище (див. формулу 1 рис. 2.1).

в). Розглянемо векторний спосіб зображення синусоїдальних величин. Застосування векторних діаграм при розрахунку та дослідженні кіл змінного струму дозволяє наочно представляти процеси у колі та спрощувати розрахунки.

Для зображення синусоїдальної величини з початковою фазою обертовим вектором побудуємо в декартовій системі координат під кутом до позитивної осі абсцис вектор , довжина якого в довільно обраному масштабі дорівнює амплітуді гармонічної величини, яку зображаємо (рис.2.3). Додатні кути с відкладаємо в напрямку проти обертання часової стрілки, а від’ємні – за часовою стрілкою.

Припустимо, що вектор , починаючи з моменту часу t = 0 обертається навколо початку координат проти годинникової стрілки зі сталою частотою обертання . В момент часу t вектор повернеться на кут і буде розташований під кутом по відношенню до осі абсцис. Проекція цього вектора на вісь ординат у вибраному масштабі дорівнює миттєвому значенню напруги: .

Отже, величину, що змінюється гармонічно у часі, можна зображати обертовим вектором. При нульовому значенні початкової фази ( =0) в момент часу маємо і вектор повинен бути розташованим на осі абсцис.

При розрахунку кола змінного струму часто приходиться складати ЕРС, струми або напруги однієї і тієї ж частоти.

Припустимо, що треба скласти дві ЕРС:

і .

Т аке додавання можна здійснити аналітично або графічно. Останній спосіб більш є наочним і простішим. Дві ЕРС і , що складаються, зображені в певному масштабі векторами і (рис. 2.4). При обертанні цих векторів з однією і тією ж частотою взаємне розташування векторів залишається незмінним. Сума проекцій обертових векторів і на вісь ординат дорівнює проекції на ту ж вісь вектора , який є їх геометричною сумою.

Отже, при додаванні двох синусоїдальних ЕРС однієї і тієї ж частоти одержуємо синусоїдальну ЕРС тієї ж частоти, амплітуда якої зображається вектором , що дорівнює геометричній сумі векторів і :

.

г). Розглянемо зображення синусоїдальних величин у вигляді комплексних чисел.

Метод аналізу кіл синусоїдального струму , коли всі його величини зображені у комплексному вигляді, називається символічним. Символічний метод дає змогу геометричні дії над векторами замінити алгебраїчними.

Символічний метод полягає в наступному:

- вектор будь-якої величини розглядається як величина комплексна на комплексній площині (тому метод має також назву “метод комплексних величин”);

- кожний вектор розкладається на складові та по осям комплексної площини (рис. 2.5).

Вісь абсцис називають віссю дійсних значень та позначають “+1”. Вісь ординат називають віссю уявних значень і позначають “+j”, де символ j – уявна одиниця ( ). Складову вектора за уявною віссю виділяють символом j.

Діючі значення величин у комплексній формі записуються основним літерним позначенням, над яким ставлять крапку.

Будь-якому вектору на комплексній площині однозначно відповідає комплексне число, яке може бути записане в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формі (експоненціальній) формах:

Алгебраїчна форма: .

Тригонометрична: .

Експоненціальна: .

Остання формула записана з застосуванням формули Ейлера у попередній формулі:

.

Перехід від алгебраїчної форми запису до показової та тригонометричної відбувається за формулами:

, при > 0, при < 0.

Приклад 1. Електричний сигнал заданий в тригонометричній формі:

.

Зобразити його в показниковій та алгебраїчній формах.

Розв’язання

В загальному вигляді формула сигналу має вигляд: Діюче значення напруги визначається через її амплітудне значення: . Виходячи з цього зображення діючого значення сигналу в показовій формі має вигляд:

;

в алгебраїчній:

Приклад 2. Напруга задається в комплексній формі: Зобразити її в тригонометричній формі.

Розв’язання

Модуль діючого значення визначається за формулою:

аргумент:

Оскільки напрямок кута повороту прийнято приймати за позитивний, якщо вектор обертається проти годинникової стрілки, то кут -53⁰ – кут, визначений за напрямком годинникової стрілки.

Приклад 3. Обчислити де і

Розв’язання

Виражені у комплексній формі амплітудні значення напруг мають вигляд:

Для знаходження векторної суми знайдемо спочатку комплексні амплітуди в алгебраїчній формі:

Комплексна амплітуда сумарного сигналу:

П ереходячи до синусоїдальної форми запису, маємо: В.

На рис. 2.6 приведена векторна діаграма, яка пояснює комплексну форму знаходження суми напруг.